Упр.33.3 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) sin(5x)=cos(4x);
2) sin(10x)-cos(2x)=0.

1) $$\sin 5x=\cos 4x$$

Преобразуем косинус к синусу:

$$\cos 4x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-4x\right)$$

Тогда

$$\sin 5x-\sin\left(\frac{\pi}{2}-4x\right)=0$$

Используем формулу разности синусов:

$$2\cos\left(\frac{5x+\frac{\pi}{2}-4x}{2}\right)\sin\left(\frac{5x-\left(\frac{\pi}{2}-4x\right)}{2}\right)=0$$

$$2\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\sin\left(\frac{9x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=0$$

Отсюда:

$$\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)=0 \quad \text{или} \quad \sin\left(\frac{9x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=0$$

1) $$\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+\pi n$$

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$

2) $$\frac{9x}{2}-\frac{\pi}{4}=\pi n$$

$$x=\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi n}{9}$$

Так как первое семейство входит во второе при подходящих значениях $n$, окончательно получаем:

$$x=\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi n}{9}, \quad n\in\mathbb{Z}$$

2) $$\sin 10x-\cos 2x=0$$

Преобразуем косинус:

$$\cos 2x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)$$

Тогда

$$\sin 10x-\sin\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)=0$$

Используем формулу разности синусов:

$$2\cos\left(\frac{10x+\frac{\pi}{2}-2x}{2}\right)\sin\left(\frac{10x-\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)}{2}\right)=0$$

$$2\cos\left(4x+\frac{\pi}{4}\right)\sin\left(6x-\frac{\pi}{4}\right)=0$$

Отсюда:

$$\cos\left(4x+\frac{\pi}{4}\right)=0 \quad \text{или} \quad \sin\left(6x-\frac{\pi}{4}\right)=0$$

1) $$4x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+\pi n$$

$$x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{4}$$

2) $$6x-\frac{\pi}{4}=\pi n$$

$$x=\frac{\pi}{24}+\frac{\pi n}{6}$$

Следовательно,

$$x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{4} \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{24}+\frac{\pi n}{6}, \quad n\in\mathbb{Z}$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi n}{9}, \ n\in\mathbb{Z}$$

2) $$x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{4}, \ n\in\mathbb{Z}$$ или $$x=\frac{\pi}{24}+\frac{\pi n}{6}, \ n\in\mathbb{Z}$$