Упр.33.29 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) (5+3/sin^2(x))(2-sin^6(x))=7+cos(2y);
2) (sin^2(x)+1/sin^2(x))^2+(cos^2(x)+1/cos^2(x))^2=12+1/2sin(y).
$$\left(5+\frac{3}{\sin^2 x}\right)\left(2-\sin^6 x\right)=7+\cos 2y.$$
Так как
$$5+\frac{3}{\sin^2 x}\ge 8,$$
а
$$2-\sin^6 x\le 2,$$
то для равенства произведения правой части необходимо, чтобы оба множителя были равны своим предельным значениям:
$$5+\frac{3}{\sin^2 x}=8,\qquad 2-\sin^6 x=1.$$Из первого уравнения:
$$\frac{3}{\sin^2 x}=3,\qquad \sin^2 x=1,\qquad \sin x=\pm 1,$$
значит
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$Из второго уравнения:
$$\sin^6 x=1,\qquad \sin x=\pm 1,$$
что даёт то же самое:
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$Тогда правая часть должна быть равна
$$7+\cos 2y=8,$$
откуда
$$\cos 2y=1,\qquad 2y=2\pi n,\qquad y=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$$$\left(\sin^2 x+\frac{1}{\sin^2 x}\right)^2+\left(\cos^2 x+\frac{1}{\cos^2 x}\right)^2=12+\frac12\sin y.$$
Обозначим
$$a=\left(\sin^2 x+\frac{1}{\sin^2 x}\right)^2,\qquad b=\left(\cos^2 x+\frac{1}{\cos^2 x}\right)^2.$$
Тогда по неравенству между средним арифметическим и квадратом суммы:
$$a+b\ge \frac{(a+b)^2}{2}.$$
Удобнее сразу оценить выражение:
$$\sin^2 x+\cos^2 x=1,$$
поэтому
$$\frac12\left(\sin^2 x+\cos^2 x+\frac{1}{\sin^2 x}+\frac{1}{\cos^2 x}\right)^2 =\frac12\left(1+\frac{1}{\sin^2 x\cos^2 x}\right)^2.$$Так как
$$\sin^2 x\cos^2 x=\frac14\sin^2 2x,$$
то
$$\frac12\left(1+\frac{1}{\sin^2 x\cos^2 x}\right)^2 =\frac12\left(1+\frac{4}{\sin^2 2x}\right)^2\ge \frac12(1+4)^2=\frac{25}{2}.$$
Значит,
$$12+\frac12\sin y\ge \frac{25}{2}.$$Равенство достигается при
$$\sin^2 2x=1,$$
то есть
$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\qquad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb Z.$$
Тогда
$$12+\frac12\sin y=\frac{25}{2},\qquad \sin y=1,$$
откуда
$$y=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Ответ
1) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad y=\pi n,\quad k,n\in\mathbb Z.$$
2) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\quad y=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad k,n\in\mathbb Z.$$
