Упр.33.28 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 33.28. Решите уравнение v(1-ctg^2(2?x))cos(?x)+sin(?x)=v2.

Преобразуем левую часть:

$$ \sqrt{1-\ctg^2 2\pi x}\cos \pi x+\sin \pi x=\sqrt2. $$

Обозначим

$$ A=\sqrt{1-\ctg^2 2\pi x}+1=\sqrt{2-\ctg^2 2\pi x}. $$

Тогда

$$ \sqrt{2-\ctg^2 2\pi x}\left(\frac{\sqrt{1-\ctg^2 2\pi x}}{\sqrt{2-\ctg^2 2\pi x}}\cos \pi x+\frac{1}{\sqrt{2-\ctg^2 2\pi x}}\sin \pi x\right)=\sqrt2. $$

Положим

$$ \sin \alpha=\frac{1}{\sqrt{2-\ctg^2 2\pi x}},\qquad \cos \alpha=\frac{\sqrt{1-\ctg^2 2\pi x}}{\sqrt{2-\ctg^2 2\pi x}}. $$

Тогда получаем

$$ \sqrt{2-\ctg^2 2\pi x}\cos(\pi x-\alpha)=\sqrt2. $$

Так как $$-1\le \cos(\pi x-\alpha)\le 1,$$ то должно быть

$$ \sqrt{2-\ctg^2 2\pi x}\le \sqrt2. $$

Отсюда

$$ 2-\ctg^2 2\pi x\le 2, $$

что выполняется при

$$ \ctg 2\pi x=0,\qquad 2\pi x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad x=\frac14+\frac n2. $$

Проверим это значение в исходном уравнении:

$$ \cos \pi x+\sin \pi x=\sqrt2. $$

Тогда

$$ \sqrt2\sin\left(\pi x+\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt2, $$

значит

$$ \sin\left(\pi x+\frac{\pi}{4}\right)=1. $$

Следовательно,

$$ \pi x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2\pi n, $$

$$ \pi x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\qquad x=\frac14+2n. $$

Ответ

$$ x=\frac14+2n,\qquad n\in\mathbb Z. $$