Упр.33.27 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 33.27. Решите уравнение v(3-tg^2(3?x/2))sin(?x)-cos(?x)=2.

Обозначим

$$A=\sqrt{4-\tg^2\frac{3\pi x}{2}}.$$

Тогда

$$\sqrt{3-\tg^2\frac{3\pi x}{2}}=\sqrt{A^2-1}.$$

Перепишем уравнение в виде

$$\sqrt{4-\tg^2\frac{3\pi x}{2}}\left(\frac{\sqrt{3-\tg^2\frac{3\pi x}{2}}}{\sqrt{4-\tg^2\frac{3\pi x}{2}}}\sin \pi x-\frac{\sqrt{4-\tg^2\frac{3\pi x}{2}}}{\sqrt{4-\tg^2\frac{3\pi x}{2}}}\cos \pi x\right)=2.$$

Положим

$$\sin \alpha=\frac{1}{\sqrt{4-\tg^2\frac{3\pi x}{2}}}, \qquad \cos \alpha=\frac{\sqrt{3-\tg^2\frac{3\pi x}{2}}}{\sqrt{4-\tg^2\frac{3\pi x}{2}}}.$$

Тогда

$$\sqrt{4-\tg^2\frac{3\pi x}{2}}\sin(\pi x-\alpha)=2.$$

Так как $$-1\le \sin(\pi x-\alpha)\le 1,$$ то должно быть

$$\sqrt{4-\tg^2\frac{3\pi x}{2}}\le 2.$$

Отсюда

$$4-\tg^2\frac{3\pi x}{2}\le 4,$$

что выполняется всегда, а для равенства в правой части нужно

$$\tg^2\frac{3\pi x}{2}=0,$$

то есть

$$\frac{3\pi x}{2}=\pi n,\qquad x=\frac{2n}{3}, \qquad n\in\mathbb Z.$$

Подставим это в исходное уравнение. Тогда

$$\sqrt{3}\sin \pi x-\cos \pi x=2.$$

Преобразуем левую часть:

$$\sqrt{3}\sin \pi x-\cos \pi x=2\sin\left(\pi x-\frac{\pi}{6}\right).$$

Получаем

$$2\sin\left(\pi x-\frac{\pi}{6}\right)=2,$$

$$\sin\left(\pi x-\frac{\pi}{6}\right)=1.$$

Тогда

$$\pi x-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

$$\pi x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,$$

$$x=\frac{2}{3}+2n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

$$x=\frac{2}{3}+2n,\qquad n\in\mathbb Z.$$