Упр.33.26 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) sin(5x)+sin(x)=2+cos^2(x);
2) v(5+sin^2(3x))=sin(x)+2cos(x).

1. $$\sin 5x+\sin x=2+\cos^2 x.$$

   Используем формулу суммы синусов:

   $$\sin 5x+\sin x=2\sin 3x\cos 2x.$$

   Тогда

   $$2\sin 3x\cos 2x=2+\cos^2 x.$$

   Левая часть не превосходит $$2$$, так как $$|\sin 3x|\le 1$$ и $$|\cos 2x|\le 1$$. Правая часть не меньше $$2$$, поскольку $$\cos^2 x\ge 0$$. Значит, равенство возможно только при

   $$2\sin 3x\cos 2x=2,\qquad 2+\cos^2 x=2.$$

   Из второго равенства получаем

   $$\cos^2 x=0,\qquad \cos x=0,\qquad x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

   Проверим эти значения. При $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$ имеем

   $$\sin 5x+\sin x=1+1=2,$$

   а при $$x=\frac{3\pi}{2}+2\pi n$$

   $$\sin 5x+\sin x=-1-1=-2,$$

   что не подходит.

   Следовательно,

   $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

2. $$\sqrt{5+\sin^2 3x}=\sin x+2\cos x.$$

   Оценим правую часть:

   $$\sin x+2\cos x=\sqrt5\cos\left(x-\arccos\frac{2}{\sqrt5}\right)\le \sqrt5.$$

   Левая часть удовлетворяет неравенству

   $$\sqrt{5+\sin^2 3x}\ge \sqrt5.$$

   Значит, равенство возможно только при

   $$\sqrt{5+\sin^2 3x}=\sqrt5,\qquad \sin x+2\cos x=\sqrt5.$$

   Из первого равенства получаем

   $$\sin^2 3x=0,\qquad \sin 3x=0,\qquad 3x=\pi n,\qquad x=\frac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z.$$

   Из второго равенства нужно, чтобы

   $$\cos\left(x-\arccos\frac{2}{\sqrt5}\right)=1,$$

   то есть

   $$x=\arccos\frac{2}{\sqrt5}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$

   Но это значение не совпадает с $$x=\frac{\pi n}{3}$$. Следовательно, решений нет.

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
2) Решений нет.