Упр.33.25 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) sin^5(x)+cos^5(x)=2-sin^4(x);
2) v(2+cos^2(2x))=sin(3x)-cos(3x).

Подробный ответ

$$\sin^5 x+\cos^5 x=2-\sin^4 x.$$
Так как $$\sin^2 x\le 1$$ и $$\cos^2 x\le 1,$$ то
$$\sin^5 x\le \sin^2 x,\qquad \cos^5 x\le \cos^2 x.$$
Следовательно,
$$\sin^5 x+\cos^5 x\le \sin^2 x+\cos^2 x=1.$$
С другой стороны,
$$2-\sin^4 x\ge 1.$$
Равенство возможно только при
$$2-\sin^4 x=1,\qquad \sin^4 x=1,\qquad \sin x=\pm 1.$$
Проверим эти значения. При $$\sin x=1$$ имеем $$\cos x=0,$$ и тогда
$$\sin^5 x+\cos^5 x=1,\qquad 2-\sin^4 x=1.$$
При $$\sin x=-1$$ левая часть равна $$-1,$$ а правая — $$1,$$ поэтому это не подходит.
Значит,
$$\sin x=1.$$
Отсюда
$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
$$\sqrt{2+\cos^2 2x}=\sin 3x-\cos 3x.$$
Преобразуем правую часть:
$$\sin 3x-\cos 3x=\sqrt2\sin\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)\le \sqrt2.$$
Левая часть удовлетворяет неравенству
$$\sqrt{2+\cos^2 2x}\ge \sqrt2,$$
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда
$$\cos 2x=0.$$
Чтобы уравнение было верным, нужно одновременно
$$\sqrt{2+\cos^2 2x}=\sqrt2,\qquad \sin\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)=1.$$
Из первого условия:
$$\cos 2x=0,\qquad 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$
Из второго условия:
$$3x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad 3x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\qquad x=\frac{\pi}{4}+\frac{2\pi n}{3}.$$
Пересечение этих множеств даёт
$$x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$