Упр.33.24 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) sin^3(x)+cos^9(x)=1;
2) cos^4(x)-sin^7(x)=1.

1) $$\sin^3 x+\cos^9 x=1$$

Так как $$-1\le \sin x\le 1,$$ то $$\sin^3 x\le \sin^2 x.$$

Аналогично, $$-1\le \cos x\le 1,$$ значит $$\cos^9 x\le \cos^2 x.$$

Тогда

$$\sin^3 x+\cos^9 x\le \sin^2 x+\cos^2 x=1.$$

По условию левая часть равна $$1,$$ значит должно выполняться равенство в обоих неравенствах:

$$\sin^3 x=\sin^2 x,\qquad \cos^9 x=\cos^2 x.$$

Отсюда

$$\sin^2 x(\sin x-1)=0,\qquad \cos^2 x(\cos^7 x-1)=0.$$

Следовательно, $$\sin x=0$$ или $$\sin x=1,$$ а также $$\cos x=0$$ или $$\cos x=1.$$

Проверяем совместимость:

• если $$\sin x=1,$$ то $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n;$$
• если $$\sin x=0,$$ то $$x=\pi n.$$

Оба семейства подходят.

2) $$\cos^4 x-\sin^7 x=1$$

Так как $$-1\le \cos x\le 1,$$ то $$\cos^4 x\le \cos^2 x.$$

А так как $$-1\le \sin x\le 1,$$ то $$-\sin^7 x\le \sin^2 x.$$

Тогда

$$\cos^4 x-\sin^7 x\le \cos^2 x+\sin^2 x=1.$$

По условию левая часть равна $$1,$$ значит снова должно быть равенство в обоих неравенствах:

$$\cos^4 x=\cos^2 x,\qquad -\sin^7 x=\sin^2 x.$$

Из первого:

$$\cos^2 x(\cos^2 x-1)=0,$$

то есть $$\cos x=0$$ или $$\cos x=\pm 1.$$

Из второго:

$$\sin^2 x(-\sin^5 x-1)=0,$$

откуда $$\sin x=0$$ или $$\sin x=-1.$$

Совместимы только случаи:

• $$\sin x=0,\ \cos x=\pm 1 \Rightarrow x=\pi n;$$
• $$\sin x=-1,\ \cos x=0 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ \pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

2) $$x=\pi n,\ -\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$