Упр.33.23 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) cos^7(x)+sin^4(x)=1;
2) vsin(x)+vcos(x)=1.

Подробный ответ

Рассмотрим уравнение $$\cos^7 x+\sin^4 x=1.$$
Так как $$-1\le \sin x\le 1,$$ то $$\sin^4 x\le \sin^2 x.$$
Так как $$-1\le \cos x\le 1,$$ то $$\cos^7 x\le \cos^2 x.$$
Тогда
$$\cos^7 x+\sin^4 x\le \cos^2 x+\sin^2 x=1.$$
По условию левая часть равна $$1,$$ значит, должны выполняться равенства
$$\sin^4 x=\sin^2 x,\qquad \cos^7 x=\cos^2 x.$$
Из $$\sin^4 x=\sin^2 x$$ получаем
$$\sin^2 x(\sin^2 x-1)=0,$$
откуда $$\sin x=0$$ или $$\sin x=\pm1.$$
Из $$\cos^7 x=\cos^2 x$$ получаем
$$\cos^2 x(\cos^5 x-1)=0,$$
откуда $$\cos x=0$$ или $$\cos x=1.$$
Совместно это возможно только в случаях:
$$\sin x=0,\ \cos x=1 \quad \Rightarrow \quad x=2\pi n;$$
$$\sin x=\pm1,\ \cos x=0 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$
Рассмотрим уравнение $$\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}=1.$$
Область определения:
$$\sin x\ge 0,\qquad \cos x\ge 0.$$
При $$0\le \sin x\le 1$$ имеем $$\sqrt{\sin x}\ge \sin^2 x,$$ а при $$0\le \cos x\le 1$$ имеем $$\sqrt{\cos x}\ge \cos^2 x.$$
Тогда
$$\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}\ge \sin^2 x+\cos^2 x=1.$$
По условию левая часть равна $$1,$$ значит, должны выполняться равенства
$$\sqrt{\sin x}=\sin^2 x,\qquad \sqrt{\cos x}=\cos^2 x.$$
Отсюда
$$\sin x=0 \text{ или } \sin x=1,$$
$$\cos x=0 \text{ или } \cos x=1.$$
Совместно получаем:
$$\sin x=0,\ \cos x=1 \quad \Rightarrow \quad x=2\pi n;$$
$$\sin x=1,\ \cos x=0 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$