Упр.33.22 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) cos(13x/6)cos(5x/6)=1;
2) sin(2x)+cos(8x/3)=2.

1) Используем формулу произведения косинусов:

$$ \cos \frac{13x}{6}\cos \frac{5x}{6}=\frac12\left(\cos \frac{13x}{6}+\cos \frac{5x}{6}\right). $$

Тогда

$$ \frac12\left(\cos \frac{13x}{6}+\cos \frac{5x}{6}\right)=1. $$

По формуле суммы косинусов:

$$ \cos \frac{13x}{6}+\cos \frac{5x}{6}=2\cos 3x \cos \frac{4x}{3}. $$

Получаем

$$ \cos 3x+\cos \frac{4x}{3}=2. $$

Так как каждое из слагаемых не превосходит $1$, то равенство возможно только при

$$ \cos 3x=1,\qquad \cos \frac{4x}{3}=1. $$

Тогда

$$ 3x=2\pi k,\qquad x=\frac{2\pi k}{3}, $$

$$ \frac{4x}{3}=2\pi n,\qquad x=\frac{3\pi n}{2}, $$

где $k,n\in \mathbb{Z}$.

Приравниваем значения $x$:

$$ \frac{2\pi k}{3}=\frac{3\pi n}{2} \quad\Rightarrow\quad 4k=9n. $$

Пусть $k=9m$, тогда $n=4m$, и

$$ x=\frac{2\pi\cdot 9m}{3}=6\pi m. $$

Значит,

$$ x=6\pi n,\qquad n\in \mathbb{Z}. $$

2) Решим уравнение

$$ \sin 2x+\cos \frac{8x}{3}=2. $$

Так как $\sin 2x\le 1$ и $\cos \frac{8x}{3}\le 1$, то сумма равна $2$ только при

$$ \sin 2x=1,\qquad \cos \frac{8x}{3}=1. $$

Отсюда

$$ 2x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\qquad x=\frac{\pi}{4}+\pi k, $$

$$ \frac{8x}{3}=2\pi n,\qquad x=\frac{3\pi n}{4}, $$

где $k,n\in \mathbb{Z}$.

Приравниваем:

$$ \frac{\pi}{4}+\pi k=\frac{3\pi n}{4} \quad\Rightarrow\quad 1+4k=3n. $$

Пусть $k=m$, тогда $n=\frac{1+4m}{3}$, и из условия целочисленности получаем $m=3t-1$. Тогда

$$ x=\frac{\pi}{4}+\pi(3t-1)=-\frac{3\pi}{4}+3\pi t. $$

Следовательно,

$$ x=-\frac{3\pi}{4}+3\pi n,\qquad n\in \mathbb{Z}. $$

Ответ

1) $$x=6\pi n,\ n\in \mathbb{Z}.$$
2) $$x=-\frac{3\pi}{4}+3\pi n,\ n\in \mathbb{Z}.$$