Упр.33.21 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) cos(2x)+cos(5x/2)=2;
2) sin(6x)+cos(12x/5)=-2.

1. $$\cos 2x+\cos \frac{5x}{2}=2.$$

   Так как $$\cos t\le 1$$, то сумма двух косинусов равна $$2$$ только тогда, когда

   $$\cos 2x=1,\qquad \cos \frac{5x}{2}=1.$$

   Тогда

   $$2x=2\pi k,\qquad x=\pi k,$$

   $$\frac{5x}{2}=2\pi n,\qquad x=\frac{4\pi n}{5}.$$

   Приравниваем значения $$x$$:

   $$\pi k=\frac{4\pi n}{5}\quad \Rightarrow \quad 5k=4n.$$

   Отсюда $$k=4m$$, где $$m\in \mathbb{Z}$$, и

   $$x=\pi k=4\pi m.$$

2. $$\sin 6x+\cos \frac{12x}{5}=-2.$$

   Так как $$\sin t\ge -1$$ и $$\cos t\ge -1$$, то сумма равна $$-2$$ только при

   $$\sin 6x=-1,\qquad \cos \frac{12x}{5}=-1.$$

   Тогда

   $$6x=\frac{3\pi}{2}+2\pi k,\qquad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{3},$$

   $$\frac{12x}{5}=\pi+2\pi n,\qquad x=\frac{5\pi}{12}+\frac{5\pi n}{6}.$$

   Приравниваем:

   $$\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{3}=\frac{5\pi}{12}+\frac{5\pi n}{6}.$$

   Делим на $$\pi$$ и умножаем на $$12$$:

   $$3+4k=5+10n,$$

   $$2k=1+5n.$$

   Подходит, например, $$n=1+2m$$, тогда

   $$k=3+5m,$$

   и

   $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi(3+5m)}{3}=\frac{5\pi}{4}+\frac{5\pi m}{3}.$$

Ответ

1) $$x=4\pi n,\ n\in \mathbb{Z}$$;

2) $$x=\frac{5\pi}{4}+\frac{5\pi n}{3},\ n\in \mathbb{Z}$$.