Упр.33.20 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) sin^3(4x)+cos^3(4x)=1-0,5sin(8x);
2) cos(2x)+sin(2x)=v2(cos^4(2x)-sin^4(2x)).
$$\sin^3 4x+\cos^3 4x=1-\frac12\sin 8x.$$
Используем формулу суммы кубов:
$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2).$$
Тогда
$$\sin^3 4x+\cos^3 4x=(\sin 4x+\cos 4x)\bigl(1-\sin 4x\cos 4x\bigr).$$
Так как
$$\sin 8x=2\sin 4x\cos 4x,$$
получаем
$$ (\sin 4x+\cos 4x)\left(1-\frac12\sin 8x\right)=1-\frac12\sin 8x. $$
Перенесём всё в одну сторону:
$$ \left(1-\frac12\sin 8x\right)(\sin 4x+\cos 4x-1)=0. $$Отсюда:
1) $$1-\frac12\sin 8x=0 \;\Rightarrow\; \sin 8x=2,$$
что невозможно, значит решений нет.2) $$\sin 4x+\cos 4x-1=0,$$
то есть
$$\sin 4x+\cos 4x=1.$$
Представим левую часть в виде:
$$ \sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}\sin 4x+\frac{\sqrt2}{2}\cos 4x\right)=1, $$
значит
$$ \cos\left(4x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}. $$
Тогда
$$ 4x-\frac{\pi}{4}=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$
Отсюда
$$ x=\frac{\pi n}{2} $$
или
$$ x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}. $$$$\cos 2x+\sin 2x=\sqrt2\left(\cos^2 2x-\sin^2 2x\right).$$
Так как
$$\cos^2 2x-\sin^2 2x=(\cos 2x-\sin 2x)(\cos 2x+\sin 2x),$$
получаем
$$ (\cos 2x+\sin 2x)\bigl(1-\sqrt2(\cos 2x-\sin 2x)\bigr)=0. $$Отсюда:
1) $$\cos 2x+\sin 2x=0,$$
тогда
$$\tan 2x=-1,$$
значит
$$2x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}.$$2) $$1-\sqrt2(\cos 2x-\sin 2x)=0,$$
то есть
$$\cos 2x-\sin 2x=\frac{1}{\sqrt2}.$$
Тогда
$$ \sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}\cos 2x-\frac{\sqrt2}{2}\sin 2x\right)=\frac{1}{\sqrt2}, $$
значит
$$ \cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac12. $$
Следовательно,
$$ 2x+\frac{\pi}{4}=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n. $$
Отсюда
$$ x=\frac{\pi}{24}+\pi n $$
или
$$ x=-\frac{7\pi}{24}+\pi n. $$Объединяя корни, получаем:
$$x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad x=\frac{\pi}{24}+\pi n,\quad x=-\frac{7\pi}{24}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Ответ
1) $$x=\frac{\pi n}{2},\ \frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$
2) $$x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\ \frac{\pi}{24}+\pi n,\ -\frac{7\pi}{24}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
