Упр.33.2 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) cos(9x)-cos(x)=0;
2) v2cos(x)ctg(x)-3v2cos(x)+ctg(x)-3=0.

1) Применим формулу разности косинусов:

$$\cos 9x-\cos x=-2\sin\frac{9x+x}{2}\sin\frac{9x-x}{2}=-2\sin 5x\sin 4x.$$

Тогда

$$-2\sin 5x\sin 4x=0.$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

$$\sin 5x=0 \quad \text{или} \quad \sin 4x=0.$$

Отсюда

$$5x=\pi n,\quad x=\frac{\pi n}{5};$$

$$4x=\pi n,\quad x=\frac{\pi n}{4}, \quad n\in\mathbb{Z}.$$

2) Перенесём всё в одну сторону и сгруппируем:

$$\sqrt{2}\cos x\ctg x-3\sqrt{2}\cos x+\ctg x-3=0,$$

$$\ctg x(\sqrt{2}\cos x+1)-3(\sqrt{2}\cos x+1)=0,$$

$$(\ctg x-3)(\sqrt{2}\cos x+1)=0.$$

Следовательно,

$$\ctg x-3=0 \quad \text{или} \quad \sqrt{2}\cos x+1=0.$$

1) $$\ctg x=3,$$ значит

$$x=\operatorname{arcctg}3+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

2) $$\sqrt{2}\cos x+1=0,$$ значит

$$\cos x=-\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2},$$

откуда

$$x=\pm\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi n}{5},\ \frac{\pi n}{4},\quad n\in\mathbb{Z}.$$

2) $$x=\operatorname{arcctg}3+\pi n,\ \pm\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$