Упр.33 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)
Упростите выражение:
- 1) $$\left(\frac{1}{\sqrt[4]{a}-1}-\frac{\sqrt[4]{a}+1}{\sqrt{a}}\right):\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-2\sqrt[4]{a}+1}$$; 2) $$\frac{\sqrt{a}+27}{a^{1/6}-b^{1/6}}\cdot\left(\frac{a^{1/6}-3}{a^{1/3}-3a^{1/6}+9}-\frac{(ab)^{1/6}-9}{\sqrt{a}+27}\right)$$.
1) $$\left(\frac{1}{\sqrt[4]{a}-1}-\frac{\sqrt[4]{a}+1}{\sqrt a}\right):\frac{\sqrt a}{\sqrt a-2\sqrt[4]{a}+1}$$
Преобразуем знаменатель дроби в делителе:
$$\sqrt a-2\sqrt[4]{a}+1=(\sqrt[4]{a}-1)^2.$$
Тогда
$$\left(\frac{1}{\sqrt[4]{a}-1}-\frac{\sqrt[4]{a}+1}{\sqrt a}\right)\cdot \frac{(\sqrt[4]{a}-1)^2}{\sqrt a}.$$
Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:
$$\frac{\sqrt a-(\sqrt[4]{a}+1)(\sqrt[4]{a}-1)}{\sqrt a(\sqrt[4]{a}-1)}.$$
Так как
$$(\sqrt[4]{a}+1)(\sqrt[4]{a}-1)=\sqrt a-1,$$
то
$$\frac{\sqrt a-(\sqrt a-1)}{\sqrt a(\sqrt[4]{a}-1)}=\frac{1}{\sqrt a(\sqrt[4]{a}-1)}.$$
Теперь умножаем:
$$\frac{1}{\sqrt a(\sqrt[4]{a}-1)}\cdot \frac{(\sqrt[4]{a}-1)^2}{\sqrt a}=\frac{\sqrt[4]{a}-1}{a}.$$
2) $$\frac{\sqrt a+27}{\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b}}\left(\frac{\sqrt[6]{a}-3}{\sqrt[3]{a}-3\sqrt[6]{a}+9}-\frac{\sqrt[6]{ab}-9}{\sqrt a+27}\right)$$
Заметим, что
$$\sqrt[3]{a}-3\sqrt[6]{a}+9=(\sqrt[6]{a})^2-3\sqrt[6]{a}+9,$$
а также
$$\sqrt a+27=(\sqrt[6]{a})^3+3^3=(\sqrt[6]{a}+3)(\sqrt[3]{a}-3\sqrt[6]{a}+9).$$
Тогда
$$\frac{\sqrt a+27}{\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b}}\left(\frac{\sqrt[6]{a}-3}{\sqrt[3]{a}-3\sqrt[6]{a}+9}-\frac{\sqrt[6]{ab}-9}{\sqrt a+27}\right)$$
$$=\frac{\sqrt a+27}{\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b}}\cdot \frac{(\sqrt[6]{a}-3)(\sqrt a+27)-(\sqrt[6]{ab}-9)(\sqrt[3]{a}-3\sqrt[6]{a}+9)}{(\sqrt[3]{a}-3\sqrt[6]{a}+9)(\sqrt a+27)}.$$
Сократим на $$\sqrt a+27$$ и используем разложение $$\sqrt a+27=(\sqrt[6]{a}+3)(\sqrt[3]{a}-3\sqrt[6]{a}+9)$$:
$$=\frac{(\sqrt[6]{a}-3)(\sqrt[6]{a}+3)-(\sqrt[6]{ab}-9)}{\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b}}.$$
Так как
$$(\sqrt[6]{a}-3)(\sqrt[6]{a}+3)=\sqrt[3]{a}-9,$$
то числитель равен
$$\sqrt[3]{a}-9-\sqrt[6]{ab}+9=\sqrt[3]{a}-\sqrt[6]{ab}.$$
Следовательно,
$$\frac{\sqrt[3]{a}-\sqrt[6]{ab}}{\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b}}=\sqrt[6]{a}.$$
Ответ: 1) $$\frac{\sqrt[4]{a}-1}{a}$$; 2) $$\sqrt[6]{a}$$.
