Упр.33.2 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

1. $$\cos(9x)-\cos(x)=0$$;
2. $$\sqrt{2}\cos(x)\operatorname{ctg}(x)-3\sqrt{2}\cos(x)+\operatorname{ctg}(x)-3=0$$.

1) $$\cos 9x-\cos x=0$$

Используем формулу разности косинусов:

$$\cos A-\cos B=-2\sin \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}.$$

Тогда

$$\cos 9x-\cos x=-2\sin 5x\sin 4x=0.$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

$$\sin 5x=0 \quad \text{или} \quad \sin 4x=0.$$

Отсюда

$$5x=\pi n,\quad x=\frac{\pi n}{5};$$

$$4x=\pi n,\quad x=\frac{\pi n}{4}, \quad n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ: $$x=\frac{\pi n}{5},\ \frac{\pi n}{4},\ n\in \mathbb{Z}.$$

2) $$\sqrt{2}\cos x\ctg x-3\sqrt{2}\cos x+\ctg x-3=0$$

Сгруппируем слагаемые:

$$\ctg x(\sqrt{2}\cos x+1)-3(\sqrt{2}\cos x+1)=0.$$

Вынесем общий множитель:

$$(\ctg x-3)(\sqrt{2}\cos x+1)=0.$$

Тогда

$$\ctg x-3=0 \quad \text{или} \quad \sqrt{2}\cos x+1=0.$$

1) $$\ctg x=3,$$ значит

$$x=\operatorname{arcctg} 3+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

2) $$\sqrt{2}\cos x+1=0,$$ значит

$$\cos x=-\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2},$$

откуда

$$x=\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ: $$x=\operatorname{arcctg} 3+\pi n,\ \pm \frac{3\pi}{4}+2\pi n,\ n\in \mathbb{Z}.$$