Упр.33.19 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) sin(3x)+sin(x)-sin(2x)=2cos^2(x)-2cos(x);
2) (cos(x)-sin(x))^2-0,5sin(4x)=sin^4(x)-cos^4(x).

1. $$\sin 3x+\sin x-\sin 2x=2\cos^2 x-2\cos x.$$
   Используем формулу $$\sin 3x=\sin 2x\cos x+\cos 2x\sin x$$ и преобразуем левую часть:

   $$\sin 3x+\sin x-\sin 2x=2\cos^2 x-2\cos x$$
   $$2\sin 2x\cos x-2\sin x\cos x=2\cos x(\cos x-1)$$
   $$\cos x(\sin 2x-\sin x-\cos x+1)=0.$$

   Далее:
   $$\sin 2x=2\sin x\cos x,$$
   поэтому
   $$\cos x\bigl((1+\sin 2x)-(\sin x+\cos x)\bigr)=0.$$
   Заметим, что
   $$1+\sin 2x=(\sin x+\cos x)^2,$$
   тогда
   $$\cos x\bigl((\sin x+\cos x)^2-(\sin x+\cos x)\bigr)=0,$$
   $$\cos x(\sin x+\cos x)(\sin x+\cos x-1)=0.$$

   Получаем три случая:

   1) $$\cos x=0,$$ откуда $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n;$$

   2) $$\sin x+\cos x=0,$$ тогда $$\tan x=-1,$$ значит
   $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n;$$

   3) $$\sin x+\cos x-1=0,$$ то есть
   $$\sin x+\cos x=1.$$
   Тогда
   $$\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x\right)=1,$$
   $$\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$
   Отсюда
   $$x-\frac{\pi}{4}=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n,$$
   значит
   $$x=2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$

2. $$\left(\cos x-\sin x\right)^2-\frac12\sin 4x=\sin^4 x-\cos^4 x.$$
   Раскроем скобки и используем формулы
   $$\sin 4x=2\sin 2x\cos 2x,\qquad \sin^4 x-\cos^4 x=(\sin^2 x-\cos^2 x)(\sin^2 x+\cos^2 x).$$

   Тогда
   $$1-\sin 2x-\sin 2x\cos 2x=1\cdot(\sin^2 x-\cos^2 x).$$
   Так как $$\sin^2 x-\cos^2 x=-\cos 2x,$$ получаем
   $$1-\sin 2x-\sin 2x\cos 2x+\cos 2x=0.$$

   Группируем:
   $$\left(1-\sin 2x\right)+\cos 2x\left(1-\sin 2x\right)=0,$$
   $$\left(\cos 2x+1\right)\left(1-\sin 2x\right)=0.$$

   Отсюда:

   1) $$\cos 2x+1=0,$$ то есть $$\cos 2x=-1,$$
   $$2x=\pi+2\pi n,\quad x=\frac{\pi}{2}+\pi n;$$

   2) $$1-\sin 2x=0,$$ то есть $$\sin 2x=1,$$
   $$2x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad x=\frac{\pi}{4}+\pi n.$$

Ответ

1) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; x=2\pi n,\; x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z};$$

2) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$