Упр.33.18 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) cos(3x)-sin(x)=-v3(sin(3x)-cos(x));
2) (sin(2x)+v3cos(2x))^2-5=cos(?/6-2x).

Подробный ответ

1) Преобразуем левую часть, используя формулы приведения к сумме:

$$ \cos 3x-\sin x=-\sqrt3(\sin 3x-\cos x) $$
$$ \cos 3x-\sin x+\sqrt3\sin 3x-\sqrt3\cos x=0 $$
$$ \left(\frac{\sqrt3}{2}\sin 3x+\frac12\cos 3x\right)-\left(\frac12\sin x+\frac{\sqrt3}{2}\cos x\right)=0 $$
$$ \cos\frac{\pi}{6}\sin 3x+\sin\frac{\pi}{6}\cos 3x-\left(\cos\frac{\pi}{3}\sin x+\sin\frac{\pi}{3}\cos x\right)=0 $$
$$ \sin\left(3x+\frac{\pi}{6}\right)-\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=0 $$
$$ 2\sin\left(x-\frac{\pi}{12}\right)\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)=0 $$

Отсюда:

$$ \sin\left(x-\frac{\pi}{12}\right)=0 \quad \text{или} \quad \cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)=0 $$

$$ x-\frac{\pi}{12}=\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{12}+\pi n $$

$$ 2x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+\pi n \quad \Rightarrow \quad 2x=\frac{\pi}{4}+\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2} $$

2) Преобразуем выражение:

$$ (\sin 2x+\sqrt3\cos 2x)^2-5=\cos\left(\frac{\pi}{6}-2x\right) $$
$$ 2\left(\frac12\sin 2x+\frac{\sqrt3}{2}\cos 2x\right)^2-5=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{3}+2x\right)\right) $$
$$ 4\left(\cos\frac{\pi}{3}\sin 2x+\sin\frac{\pi}{3}\cos 2x\right)^2-5=\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right) $$
$$ 4\sin^2\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)-\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)-5=0 $$

Положим $$y=\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)$$. Тогда

$$ 4y^2-y-5=0 $$
$$ D=1+80=81 $$
$$ y_1=\frac{1-9}{8}=-1,\qquad y_2=\frac{1+9}{8}=\frac54 $$

Так как $$\frac54>1$$, подходит только $$y=-1$$. Тогда

$$ \sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=-1 $$
$$ 2x+\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{2}+2\pi n $$
$$ 2x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n $$
$$ x=-\frac{5\pi}{12}+\pi n $$