Упр.33.17 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) sin(7x)-v2cos(5x)+v3cos(7x)-v2sin(5x)=0;
2) 2sin(3x)+sion(x)-cos(2x)=v3(sin(2x)-cos(x));
3) v3(2-cos(x))+4sin(2x)=sin(x).

1. $$\sin 7x-\sqrt2\cos 5x+\sqrt3\cos 7x-\sqrt2\sin 5x=0$$

   Группируем слагаемые и используем формулы суммы синусов:
   $$\sin 7x+\sqrt3\cos 7x-\sqrt2(\cos 5x+\sin 5x)=0.$$

   Представим каждую группу в виде одной тригонометрической функции:
   $$2\sin\left(x+\frac{\pi}{24}\right)\cos\left(6x+\frac{7\pi}{24}\right)=0.$$

   Тогда
   $$\sin\left(x+\frac{\pi}{24}\right)=0$$
   или
   $$\cos\left(6x+\frac{7\pi}{24}\right)=0.$$

   1) $$x+\frac{\pi}{24}=\pi n,$$ откуда
   $$x=-\frac{\pi}{24}+\pi n.$$

   2) $$6x+\frac{7\pi}{24}=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$ откуда
   $$6x=\frac{5\pi}{24}+\pi n,$$
   $$x=\frac{5\pi}{144}+\frac{\pi n}{6}.$$

2. $$2\sin 3x+\sin x-\cos 2x=\sqrt3(\sin 2x-\cos x)$$

   Перенесём всё в одну сторону и преобразуем:
   $$2\sin 3x+\sin x-\cos 2x-\sqrt3\sin 2x+\sqrt3\cos x=0.$$

   Используем формулы приведения к сумме:
   $$\sin x+\sqrt3\cos x=2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right),$$
   $$\sqrt3\sin 2x+\cos 2x=2\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right).$$

   Тогда
   $$2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+2\sin 3x-2\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=0.$$

   Преобразуем сумму первых двух синусов:
   $$2\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)-\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=0.$$

   Получаем:
   $$\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)\left(2\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)-1\right)=0.$$

   1) $$\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=0,$$ значит
   $$2x+\frac{\pi}{6}=\pi n,$$
   $$x=-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}.$$

   2) $$2\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)-1=0,$$ значит
   $$\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac12.$$
   Отсюда
   $$x-\frac{\pi}{6}=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,$$
   $$x=\frac{\pi}{6}\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n.$$

   То есть
   $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n.$$

3. $$\sqrt3(2-\cos x)+4\sin 2x=\sin x$$

   Перенесём всё в одну сторону:
   $$2\sqrt3-\sqrt3\cos x+4\sin 2x-\sin x=0.$$

   Используем формулы:
   $$2\sqrt3=4\sin\frac{\pi}{3}, \quad \sqrt3\cos x+\sin x=2\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right).$$

   Тогда
   $$4\sin\frac{\pi}{3}+4\sin 2x-2\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=0.$$

   Преобразуем:
   $$4\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)-\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=0.$$

   Получаем:
   $$\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\left(4\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-1\right)=0.$$

   1) $$\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=0,$$ значит
   $$x-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$
   $$x=\frac{2\pi}{3}+\pi n.$$

   2) $$4\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-1=0,$$ значит
   $$\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac14.$$
   Отсюда
   $$x+\frac{\pi}{6}=(-1)^n\arcsin\frac14+\pi n,$$
   $$x=(-1)^n\arcsin\frac14-\frac{\pi}{6}+\pi n.$$

Ответ

1) $$x=-\frac{\pi}{24}+\pi n,\ \frac{5\pi}{144}+\frac{\pi n}{6},\ n\in\mathbb Z.$$
2) $$x=-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\ -\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ \frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
3) $$x=\frac{2\pi}{3}+\pi n,\ (-1)^n\arcsin\frac14-\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$