Упр.33.16 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) {y-x=60°, cos(x)+cos(y)=1,5};
2) {x+y=?/4, sin^2(x)+sin^2(y)=1};
3) {sin(x)cos(y)=-0,5, cos(x)sin(y)=0,5}.

1. $$y-x=60^\circ,\qquad \cos x+\cos y=1{,}5.$$

   Из первого уравнения:
   $$y=x+60^\circ.$$
   Подставим во второе:
   $$\cos x+\cos(x+60^\circ)=1{,}5.$$

   Используем формулу суммы косинусов:
   $$\cos x+\cos(x+60^\circ)=2\cos(x+30^\circ)\cos30^\circ.$$
   Тогда
   $$ 2\cos(x+30^\circ)\cdot \frac{\sqrt3}{2}=1{,}5, $$
   $$ \cos(x+30^\circ)=\frac{\sqrt3}{2}. $$

   Отсюда
   $$ x+30^\circ=\pm 30^\circ+360^\circ n,\qquad n\in\mathbb Z. $$
   Значит,
   $$ x=360^\circ n \quad \text{или} \quad x=-60^\circ+360^\circ n. $$
   Тогда
   $$ y=60^\circ+360^\circ n \quad \text{или} \quad y=360^\circ n. $$

2. $$x+y=\frac{\pi}{4},\qquad \sin^2 x+\sin^2 y=1.$$

   Из первого уравнения:
   $$y=\frac{\pi}{4}-x.$$
   Подставим во второе:
   $$ \sin^2 x+\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=1. $$

   Используем формулу
   $$\sin^2 t=\frac{1-\cos 2t}{2}:$$
   $$ \frac{1-\cos 2x}{2}+\frac{1-\cos\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)}{2}=1. $$
   Тогда
   $$ \cos 2x+\cos\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)=0. $$

   Преобразуем сумму косинусов:
   $$ 2\cos\frac{\pi}{4}\cos\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)=0. $$
   Следовательно,
   $$ \cos\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)=0. $$
   Значит,
   $$ 2x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$
   Отсюда
   $$ x=\frac{3\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\qquad y=\frac{\pi}{4}-x=-\frac{\pi}{8}-\frac{\pi n}{2}. $$

3. $$\sin x\cos y=-0{,}5,\qquad \cos x\sin y=0{,}5.$$

   Сложим уравнения:
   $$ \sin x\cos y+\cos x\sin y=0. $$
   Тогда
   $$ \sin(x+y)=0,\qquad x+y=\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$

   Вычтем первое уравнение из второго:
   $$ \cos x\sin y-\sin x\cos y=1. $$
   Значит,
   $$ \sin(y-x)=1, $$
   откуда
   $$ y-x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z. $$

   Решаем систему
   $$ \begin{cases} x+y=\pi n,\\ y-x=\frac{\pi}{2}+2\pi k. \end{cases} $$
   Складывая уравнения, получаем:
   $$ 2y=\pi n+\frac{\pi}{2}+2\pi k, $$
   $$ y=\frac{\pi}{4}+\pi\left(\frac{n}{2}+k\right). $$
   Тогда
   $$ x=\pi n-y=-\frac{\pi}{4}+\pi\left(\frac{n}{2}-k\right). $$

Ответ

1) $$(360^\circ n;\ 60^\circ+360^\circ n),\ (-60^\circ+360^\circ n;\ 360^\circ n),\ n\in\mathbb Z;$$
2) $$\left(\frac{3\pi}{8}+\frac{\pi n}{2};\ -\frac{\pi}{8}-\frac{\pi n}{2}\right),\ n\in\mathbb Z;$$
3) $$\left(-\frac{\pi}{4}+\pi\left(\frac{n}{2}-k\right);\ \frac{\pi}{4}+\pi\left(\frac{n}{2}+k\right)\right),\ n,k\in\mathbb Z.$$