Упр.33.15 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) {x-y=?/3, cos(x)+cos(y)=3/2};
2) {x+y=5/6 ?, cos^2(x)+cos^2(y)=1/4};
3) {sin(x)sin(y)=v3/4, cos(x)cos(y)=v3/4}.

1. Из первого уравнения получаем

   $$x-y=\frac{\pi}{3}, \qquad y=x-\frac{\pi}{3}.$$

   Подставим во второе уравнение:

   $$\cos x+\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{3}{2}.$$

   По формуле суммы косинусов:

   $$2\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\cos\frac{\pi}{6}=\frac{3}{2}.$$

   Так как $$\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2},$$ то

   $$\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2},$$

   $$\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

   Тогда

   $$x-\frac{\pi}{6}=\pm \frac{\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

   Отсюда:

   $$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad y=2\pi n;$$

   $$x=2\pi n,\quad y=-\frac{\pi}{3}+2\pi n.$$

2. Из первого уравнения:

   $$x+y=\frac{5\pi}{6}, \qquad y=\frac{5\pi}{6}-x.$$

   Подставим во второе уравнение:

   $$\cos^2 x+\cos^2\left(\frac{5\pi}{6}-x\right)=\frac14.$$

   Используем формулу $$\cos^2 t=\frac{1+\cos 2t}{2}:$$

   $$\frac{1+\cos 2x}{2}+\frac{1+\cos\left(\frac{5\pi}{3}-2x\right)}{2}=\frac14.$$

   После преобразований получаем:

   $$\cos\left(2x-\frac{5\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

   Тогда

   $$2x-\frac{5\pi}{6}=\pm \frac{\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

   Следовательно,

   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad y=\frac{\pi}{3}-\pi n;$$

   $$x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad y=\frac{\pi}{2}-\pi n.$$

3. Сложим и вычтем уравнения системы:

   $$\sin x\sin y+\cos x\cos y=\frac{\sqrt{3}}{2},$$

   $$\cos x\cos y-\sin x\sin y=0.$$

   Из второго уравнения:

   $$\cos(x+y)=0,$$

   $$x+y=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

   Из первого уравнения:

   $$\cos(x-y)=\frac{\sqrt{3}}{2},$$

   $$x-y=\pm \frac{\pi}{6}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.$$

   Решая системы

   $$ \begin{cases} x+y=\frac{\pi}{2}+\pi n,\\ x-y=\frac{\pi}{6}+2\pi k, \end{cases} $$

   и

   $$ \begin{cases} x+y=\frac{\pi}{2}+\pi n,\\ x-y=-\frac{\pi}{6}+2\pi k, \end{cases} $$

   получаем:

   $$x=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}(n+2k),\quad y=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}(n-2k);$$

   $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}(n+2k),\quad y=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}(n-2k).$$

Ответ

1) $$\left(\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,2\pi n\right),\ \left(2\pi n;\,-\frac{\pi}{3}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$\left(\frac{\pi}{2}+\pi n;\,\frac{\pi}{3}-\pi n\right),\ \left(\frac{\pi}{3}+\pi n;\,\frac{\pi}{2}-\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

3) $$\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}(n+2k);\ \frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}(n-2k)\right),\ \left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}(n+2k);\ \frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}(n-2k)\right),\quad n,k\in\mathbb Z.$$