Упр.33.14 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 33.14. Решите уравнение x^2+8x sin(xy)+16=0.

Рассмотрим уравнение как квадратное относительно $$x$$:

$$x^2+8x\sin(xy)+16=0.$$

Его дискриминант равен

$$D=(8\sin(xy))^2-4\cdot 1\cdot 16=64\sin^2(xy)-64=64(\sin^2(xy)-1)=-64\cos^2(xy).$$

Так как для существования действительных корней нужно $$D\ge 0$$, то

$$-64\cos^2(xy)\ge 0.$$

Это возможно только при

$$\cos(xy)=0.$$

Тогда

$$\sin(xy)=\pm 1.$$

Найдём соответствующие значения $$x$$ из формулы корней квадратного уравнения:

$$x=\frac{-8\sin(xy)}{2}=-4\sin(xy).$$

1) Если $$\sin(xy)=-1$$, то

$$x=4.$$

Из условия $$\cos(xy)=0$$ получаем

$$xy=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Подставляя $$x=4$$, имеем

$$4y=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

$$y=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}.$$

2) Если $$\sin(xy)=1$$, то

$$x=-4.$$

Тогда

$$xy=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

и при $$x=-4$$ получаем

$$-4y=\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

$$y=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}.$$

Таким образом, решения имеют вид

$$\left(4,\,-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}\right),\quad \left(-4,\,-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

$$\left(4,\,-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}\right),\ \left(-4,\,-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}\right),\ n\in\mathbb Z.$$