Упр.33.13 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 33.13. Решите уравнение 4y^2-4y cos(x)+1=0.

Рассмотрим уравнение как квадратное относительно $$y$$:

$$4y^2-4y\cos x+1=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(-4\cos x)^2-4\cdot 4\cdot 1=16\cos^2 x-16=16(\cos^2 x-1)=-16\sin^2 x.$$

Чтобы уравнение имело действительные корни, нужно $$D\ge 0$$. Но

$$-16\sin^2 x\ge 0 \;\Rightarrow\; \sin x=0.$$

Тогда

$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

и соответственно $$\cos x=\cos(\pi n)=(-1)^n.$$

Подставим в уравнение:

$$4y^2-4y(-1)^n+1=0.$$

Если $$\cos x=1$$, то $$x=2\pi n$$ и

$$4y^2-4y+1=0,$$

$$\left(2y-1\right)^2=0,\quad y=\frac12.$$

Если $$\cos x=-1$$, то $$x=\pi+2\pi n$$ и

$$4y^2+4y+1=0,$$

$$\left(2y+1\right)^2=0,\quad y=-\frac12.$$

Следовательно, решения уравнения:

$$\left(2\pi n;\frac12\right),\quad \left(\pi+2\pi n;-\frac12\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

$$\left(2\pi n;\frac12\right),\ \left(\pi+2\pi n;-\frac12\right),\ n\in\mathbb Z.$$