Упр.33.12 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) sin(?x/4)=x^2-4x+5;
2) 2/(sin(x)+cos(x))=v(2-x^2).

Подробный ответ

1) Рассмотрим уравнение

$$\sin \frac{\pi x}{4}=x^2-4x+5.$$

Преобразуем правую часть:

$$x^2-4x+5=(x-2)^2+1.$$

Так как $$\sin \frac{\pi x}{4}\le 1,$$ а $$x^2-4x+5\ge 1,$$ то равенство возможно только при

$$x^2-4x+5=1.$$

Тогда

$$x^2-4x+4=0,$$

$$\left(x-2\right)^2=0,$$

$$x=2.$$

Проверка:

$$\sin \frac{\pi\cdot 2}{4}=\sin \frac{\pi}{2}=1,$$

$$2^2-4\cdot 2+5=1.$$

Значит, $$x=2$$ — решение.

2) Рассмотрим уравнение

$$\frac{2}{\sin x+\cos x}=\sqrt{2-x^2}.$$

Область определения:

$$2-x^2\ge 0 \quad \Rightarrow \quad |x|\le \sqrt{2},$$

$$\sin x+\cos x\ne 0.$$

Кроме того, правая часть неотрицательна, значит и левая часть должна быть неотрицательной. Тогда

$$\sin x+\cos x>0.$$

Используем формулу:

$$\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right).$$

Тогда

$$\frac{2}{\sin x+\cos x}=\frac{2}{\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}=\frac{\sqrt{2}}{\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}.$$

Так как $$|x|\le \sqrt{2},$$ то $$\sqrt{2-x^2}\le \sqrt{2}.$$ Следовательно, левая часть должна быть не меньше нуля и равняться числу, не превосходящему $$\sqrt{2}.$$ Но при $$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\le 1$$ имеем

$$\frac{\sqrt{2}}{\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}\ge \sqrt{2}.$$

Значит, равенство возможно только при

$$\sqrt{2-x^2}=\sqrt{2},$$

то есть

$$x=0.$$

Проверим:

$$\frac{2}{\sin 0+\cos 0}=2,$$

$$\sqrt{2-0^2}=\sqrt{2}.$$

Равенство не выполняется, значит решений нет.