Упр.33.11 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) 2cos((x^2+2x)/6)=x^2+4x+6;
2) 3cos(x)+4sin(x)=x^2-6x+14.

1) Рассмотрим уравнение

$$2\cos\frac{x^2+2x}{6}=x^2+4x+6.$$

Преобразуем правую часть:

$$x^2+4x+6=(x+2)^2+2\ge 2.$$

Так как $$-1\le \cos t\le 1,$$ то

$$2\cos\frac{x^2+2x}{6}\le 2.$$

Следовательно, равенство возможно только при

$$x^2+4x+6=2.$$

Тогда

$$x^2+4x+4=0,$$

$$\left(x+2\right)^2=0,$$

$$x=-2.$$

Проверка:

$$2\cos\frac{(-2)^2+2\cdot(-2)}{6}=2\cos 0=2,$$

$$(-2)^2+4\cdot(-2)+6=2.$$

Значит, $$x=-2$$ — корень уравнения.

2) Рассмотрим уравнение

$$3\cos x+4\sin x=x^2-6x+14.$$

Преобразуем правую часть:

$$x^2-6x+14=(x-3)^2+5\ge 5.$$

Левую часть представим в виде одной тригонометрической функции:

$$3\cos x+4\sin x=5\left(\frac35\cos x+\frac45\sin x\right).$$

Так как $$\frac35=\cos\alpha,\ \frac45=\sin\alpha,$$ где $$\alpha=\arccos\frac35,$$ то

$$3\cos x+4\sin x=5\cos(x-\alpha).$$

Следовательно,

$$3\cos x+4\sin x\le 5.$$

Для равенства с правой частью нужно, чтобы одновременно выполнялось

$$x^2-6x+14=5$$

и

$$3\cos x+4\sin x=5.$$

Из первого:

$$x^2-6x+9=0,$$

$$\left(x-3\right)^2=0,$$

$$x=3.$$

Но при $$x=3$$

$$3\cos 3+4\sin 3\ne 5,$$

значит, равенство не выполняется. Следовательно, корней нет.

Ответ

1) $$x=-2$$; 2) корней нет.