Упр.33.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) sin(x+?/3)cos(x+?/6)=0,5;
2) sin(5x)cos(3x)=sin(9x)cos(7x).

1) Используем формулу произведения в сумму:

$$ \sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right) =\frac12\left(\sin\left(2x+\frac{\pi}{2}\right)+\sin\frac{\pi}{6}\right). $$

Тогда

$$ \frac12\left(\sin\left(2x+\frac{\pi}{2}\right)+\frac12\right)=\frac12, $$

$$ \sin\left(2x+\frac{\pi}{2}\right)=\frac12. $$

Так как $$\sin\left(2x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos 2x,$$ получаем

$$ \cos 2x=\frac12. $$

Отсюда

$$ 2x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z, $$

$$ x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi n. $$

2) Преобразуем левую и правую части по формуле $$\sin a\cos b=\frac12(\sin(a+b)+\sin(a-b))$$:

$$ \sin 5x\cos 3x=\frac12(\sin 8x+\sin 2x), $$
$$ \sin 9x\cos 7x=\frac12(\sin 16x+\sin 2x). $$

Тогда

$$ \sin 8x+\sin 2x=\sin 16x+\sin 2x, $$

$$ \sin 8x=\sin 16x. $$

Перенесём в одну сторону и применим формулу разности синусов:

$$ \sin 16x-\sin 8x=0, $$
$$ 2\cos 12x\sin 4x=0. $$

Следовательно,

$$ \cos 12x=0 \quad \text{или} \quad \sin 4x=0. $$

1) Если $$\cos 12x=0,$$ то

$$ 12x=\frac{\pi}{2}+\pi n, $$

$$ x=\frac{\pi}{24}+\frac{\pi n}{12}. $$

2) Если $$\sin 4x=0,$$ то

$$ 4x=\pi n, $$

$$ x=\frac{\pi n}{4}. $$

Ответ

1) $$x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

2) $$x=\frac{\pi n}{4}$$ или $$x=\frac{\pi}{24}+\frac{\pi n}{12},\; n\in\mathbb Z.$$