Упр.33.1 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) sin(5x)-sin(x)=0;
2) 2sin(x)tg(x)+2v3sin(x)-tg(x)-v3=0.

1. $$\sin 5x-\sin x=0$$

   Используем формулу разности синусов:

   $$\sin 5x-\sin x=2\cos 3x\sin 2x.$$

   Тогда

   $$2\cos 3x\sin 2x=0.$$

   Отсюда:

   $$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos 3x=0.$$

   1) $$\sin 2x=0 \Rightarrow 2x=\pi n,\; x=\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z.$$

   2) $$\cos 3x=0 \Rightarrow 3x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\; n\in\mathbb Z.$$

2. $$2\sin x\tg x+2\sqrt3\sin x-\tg x-\sqrt3=0$$

   Сгруппируем слагаемые:

   $$\tg x(2\sin x-1)+\sqrt3(2\sin x-1)=0.$$

   Вынесем общий множитель:

   $$\bigl(\tg x+\sqrt3\bigr)(2\sin x-1)=0.$$

   Тогда:

   1) $$\tg x=-\sqrt3 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

   2) $$2\sin x-1=0 \Rightarrow \sin x=\frac12.$$

   Отсюда

   $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi n}{2},\; x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\; n\in\mathbb Z.$$

2) $$x=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\; x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$