Упр.32.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) 4cos(x)sin(x)=tg(x)+ctg(x); 3) 3+5cos(x)=sin^4(x)-cos^4(x);
2) 3cos(x)+2tg(x)=0; 4) cos(2x)-9cos(x)+6=4sin^2(x/2).
$$4\cos x\sin x=\tg x+\ctg x$$
$$4\cos x\sin x=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{1}{\sin x\cos x}$$
Умножим на $$\sin x\cos x$$:
$$4\sin^2 x\cos^2 x=1$$$$\sin 2x=2\sin x\cos x \Rightarrow \sin^2 2x=1$$
$$\sin 2x=\pm 1$$
значит,
$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}, \quad n\in\mathbb Z$$
$$3\cos x+2\tg x=0$$
Умножим на $$\cos x$$:
$$3\cos^2 x+2\sin x=0$$$$3(1-\sin^2 x)+2\sin x=0$$
$$3\sin^2 x-2\sin x-3=0$$
$$D=(-2)^2-4\cdot 3\cdot(-3)=40$$
$$\sin x=\frac{2\pm\sqrt{40}}{6}=\frac{1\pm\sqrt{10}}{3}$$
Значение $$\frac{1+\sqrt{10}}{3}>1$$ не подходит, поэтому
$$\sin x=\frac{1-\sqrt{10}}{3}$$Тогда
$$x=(-1)^n\arcsin\frac{1-\sqrt{10}}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$$$3+5\cos x=\sin^4 x-\cos^4 x$$
$$\sin^4 x-\cos^4 x=(\sin^2 x-\cos^2 x)(\sin^2 x+\cos^2 x)=\sin^2 x-\cos^2 x$$
Тогда
$$3+5\cos x=\sin^2 x-\cos^2 x=1-2\cos^2 x$$$$2\cos^2 x+5\cos x+2=0$$
$$D=5^2-4\cdot 2\cdot 2=9$$
$$\cos x=\frac{-5\pm 3}{4}$$
Получаем:
$$\cos x=-2 \quad \text{или} \quad \cos x=-\frac12$$Значение $$\cos x=-2$$ невозможно, значит
$$\cos x=-\frac12$$$$x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$\cos 2x-9\cos x+6=4\sin^2\frac{x}{2}$$
Используем формулы:
$$\cos 2x=2\cos^2 x-1,\qquad 4\sin^2\frac{x}{2}=2(1-\cos x)$$Тогда
$$2\cos^2 x-1-9\cos x+6=2-2\cos x$$$$2\cos^2 x-7\cos x+3=0$$
$$D=(-7)^2-4\cdot 2\cdot 3=25$$
$$\cos x=\frac{7\pm 5}{4}$$
Получаем:
$$\cos x=3 \quad \text{или} \quad \cos x=\frac12$$Значение $$\cos x=3$$ невозможно, значит
$$\cos x=\frac12$$$$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
Ответ
1) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$$;
2) $$x=(-1)^n\arcsin\frac{1-\sqrt{10}}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
3) $$x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
4) $$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.
