Упр.32.8 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) sin^2(x)+3cos^2(x)-2sin(2x)=0;
2) 2cos^2(x)+sin(2x)-2=0.

1) $$\sin^2 x+3\cos^2 x-2\sin 2x=0.$$

Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:

$$\sin^2 x+3\cos^2 x-4\sin x\cos x=0.$$

Если $$\cos x=0,$$ то левая часть равна $$1\neq 0,$$ значит, $$\cos x\ne 0.$$ Делим уравнение на $$\cos^2 x$$:

$$\tg^2 x-4\tg x+3=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=16-12=4,$$

$$\tg x_{1,2}=\frac{4\pm 2}{2}.$$

Тогда

$$\tg x_1=1,\qquad \tg x_2=3.$$

Следовательно,

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad x=\arctg 3+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

2) $$2\cos^2 x+\sin 2x-2=0.$$

Преобразуем, используя $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$ и $$\sin^2 x+\cos^2 x=1$$:

$$2\cos^2 x+2\sin x\cos x-2=0,$$

$$2\cos^2 x+2\sin x\cos x-2\sin^2 x-2\cos^2 x=0,$$

$$2\sin x\cos x-2\sin^2 x=0,$$

$$2\sin x(\cos x-\sin x)=0.$$

Отсюда:

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos x-\sin x=0.$$

1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,$$

2) $$\cos x=\sin x \Rightarrow \tg x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n.$$

Итак,

$$x=\pi n,\qquad x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \arctg 3+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

2) $$x=\pi n,\ \frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$