Упр.32.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) sin^2(x)+0,5sin(2x)-2cos^2(x)=0;
2) 5cos^2(x)-3sin^2(x)-sin(2x)=2;
3) 3sin^2(x)+sin(x)cos(x)+4cos^2(x)=3;
4) 3sin(x)cos(x)+cos^2(x)=1.
$$\sin^2 x+0{,}5\sin 2x-2\cos^2 x=0$$
Так как $$0{,}5\sin 2x=\sin x\cos x,$$ получаем
$$\sin^2 x+\sin x\cos x-2\cos^2 x=0.$$
При $$\cos x\neq 0$$ разделим на $$\cos^2 x$$:
$$\tg^2 x+\tg x-2=0.$$
Тогда
$$D=1+8=9,$$
$$\tg x_1=\frac{-1-3}{2}=-2,\qquad \tg x_2=\frac{-1+3}{2}=1.$$$$x=-\arctg 2+\pi n,\qquad x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$
$$5\cos^2 x-3\sin^2 x-\sin 2x=2$$
Перенесём $$2$$ в левую часть и выразим через $$\sin^2 x+\cos^2 x=1$$:
$$5\cos^2 x-3\sin^2 x-\sin 2x-2=0,$$
$$5\cos^2 x-3\sin^2 x-\sin 2x-2\sin^2 x-2\cos^2 x=0,$$
$$5\sin^2 x+2\sin x\cos x-3\cos^2 x=0.$$
При $$\cos x\neq 0$$ делим на $$\cos^2 x$$:
$$5\tg^2 x+2\tg x-3=0.$$
Тогда
$$D=2^2+4\cdot 5\cdot 3=64,$$
$$\tg x_1=\frac{-2-8}{10}=-1,\qquad \tg x_2=\frac{-2+8}{10}=\frac35.$$$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad x=\arctg\frac35+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$
$$3\sin^2 x+\sin x\cos x+4\cos^2 x=3$$
Используем $$3=3\sin^2 x+3\cos^2 x$$:
$$3\sin^2 x+\sin x\cos x+4\cos^2 x=3\sin^2 x+3\cos^2 x,$$
$$\cos^2 x+\sin x\cos x=0,$$
$$\cos x(\cos x+\sin x)=0.$$Отсюда:
$$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$
$$\cos x+\sin x=0 \Rightarrow \tg x=-1 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{4}+\pi n.$$$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$
$$3\sin x\cos x+\cos^2 x=1$$
Так как $$1=\sin^2 x+\cos^2 x,$$ получаем
$$3\sin x\cos x+\cos^2 x=\sin^2 x+\cos^2 x,$$
$$\sin^2 x-3\sin x\cos x=0,$$
$$\sin x(\sin x-3\cos x)=0.$$Тогда
$$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,$$
$$\sin x-3\cos x=0 \Rightarrow \tg x=3 \Rightarrow x=\arctg 3+\pi n.$$$$x=\arctg 3+\pi n,\qquad x=\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$
Ответ
1) $$x=-\arctg 2+\pi n,\ \frac{\pi}{4}+\pi n;$$
2) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \arctg\frac35+\pi n;$$
3) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \frac{\pi}{2}+\pi n;$$
4) $$x=\arctg 3+\pi n,\ \pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$
