Упр.32.6 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) {x-y=2?/3, tg(x)-tg(y)=-2v3};
2) {x-y=?/6, ctg(x)ctg(y)=1}.

Подробный ответ

Решим систему
$$ \begin{cases} x-y=\dfrac{2\pi}{3},\\ \tg x-\tg y=-2\sqrt{3}. \end{cases} $$
Из первого уравнения:
$$ y=x-\dfrac{2\pi}{3}. $$
Подставим во второе уравнение:
$$ \tg x-\tg\left(x-\dfrac{2\pi}{3}\right)=-2\sqrt{3}. $$
Используем формулу разности тангенсов:
$$ \tg x-\tg\left(x-\dfrac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sin\left(x-\left(x-\dfrac{2\pi}{3}\right)\right)}{\cos x\cdot \cos\left(x-\dfrac{2\pi}{3}\right)} = \frac{\sin \dfrac{2\pi}{3}}{\cos x\cdot \cos\left(x-\dfrac{2\pi}{3}\right)}. $$
Так как $$\sin \dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2},$$ получаем
$$ \frac{\sqrt{3}}{2\cos x\cdot \cos\left(x-\dfrac{2\pi}{3}\right)}=-2\sqrt{3}. $$
Отсюда
$$ 4\cos x\cdot \cos\left(x-\dfrac{2\pi}{3}\right)=-1. $$
Раскроем произведение по формуле:
$$ 2\cos A\cos B=\cos(A-B)+\cos(A+B). $$
Тогда
$$ 4\cos x\cdot \cos\left(x-\dfrac{2\pi}{3}\right) = 2\left(\cos\dfrac{2\pi}{3}+\cos\left(2x-\dfrac{2\pi}{3}\right)\right). $$
Следовательно,
$$ 2\left(\cos\dfrac{2\pi}{3}+\cos\left(2x-\dfrac{2\pi}{3}\right)\right)=-1. $$
Так как $$\cos \dfrac{2\pi}{3}=-\dfrac12,$$ то
$$ 2\left(-\dfrac12+\cos\left(2x-\dfrac{2\pi}{3}\right)\right)=-1, $$
$$ \cos\left(2x-\dfrac{2\pi}{3}\right)=0. $$
Тогда
$$ 2x-\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$
Отсюда
$$ x=\dfrac{7\pi}{12}+\dfrac{\pi n}{2}. $$
Найдём $$y$$:
$$ y=x-\dfrac{2\pi}{3}=-\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{\pi n}{2}. $$
Решим систему
$$ \begin{cases} x-y=\dfrac{\pi}{6},\\ \ctg x\cdot \ctg y=1. \end{cases} $$
Из первого уравнения:
$$ y=x-\dfrac{\pi}{6}. $$
Подставим во второе:
$$ \ctg x\cdot \ctg\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=1. $$
Используем формулу
$$ \ctg\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=\frac{\ctg x\cdot \ctg \dfrac{\pi}{6}+1}{\ctg \dfrac{\pi}{6}-\ctg x}. $$
Так как $$\ctg \dfrac{\pi}{6}=\sqrt{3},$$ получаем
$$ \ctg x\cdot \frac{\ctg x\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-\ctg x}=1. $$
После преобразований:
$$ \ctg x(\sqrt{3}\ctg x+1)=\sqrt{3}-\ctg x, $$
$$ \sqrt{3}\ctg^2 x+2\ctg x-\sqrt{3}=0. $$
Решим квадратное уравнение. Дискриминант:
$$ D=2^2-4\cdot \sqrt{3}\cdot(-\sqrt{3})=4+12=16. $$
Тогда
$$ \ctg x_{1,2}=\frac{-2\pm 4}{2\sqrt{3}}. $$
Получаем
$$ \ctg x_1=-\sqrt{3},\qquad \ctg x_2=\frac{\sqrt{3}}{3}. $$
Следовательно,
$$ x_1=-\dfrac{\pi}{6}+\pi n,\qquad x_2=\dfrac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$
Тогда
$$ y_1=x_1-\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{\pi}{3}+\pi n, $$
$$ y_2=x_2-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{6}+\pi n. $$