Упр.32.5 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) {x+y=?/2, tg(x)+tg(y)=2};
2) {x+y=?/4, tg(x)tg(y)=1/6}.

1) $$\begin{cases}x+y=\frac{\pi}{2},\\ \tg x+\tg y=2.\end{cases}$$

Из первого уравнения выразим $$y$$:

$$y=\frac{\pi}{2}-x.$$

Подставим во второе уравнение:

$$\tg x+\tg\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=2,$$

$$\tg x+\ctg x=2.$$

Обозначим $$t=\tg x$$, тогда $$\ctg x=\frac{1}{t}$$. Получаем:

$$t+\frac{1}{t}=2,$$

$$t^2-2t+1=0,$$

$$\left(t-1\right)^2=0,$$

$$t=1.$$

Значит,

$$\tg x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$y=\frac{\pi}{2}-x=\frac{\pi}{4}-\pi n.$$

2) $$\begin{cases}x+y=\frac{\pi}{4},\\ \tg x\cdot \tg y=\frac16.\end{cases}$$

Из первого уравнения:

$$y=\frac{\pi}{4}-x.$$

Подставим во второе:

$$\tg x\cdot \tg\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=\frac16.$$

Используем формулу:

$$\tg\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=\frac{1-\tg x}{1+\tg x}.$$

Тогда

$$\tg x\cdot \frac{1-\tg x}{1+\tg x}=\frac16.$$

Обозначим $$t=\tg x$$. Тогда

$$6t(1-t)=1+t,$$

$$6t-6t^2=1+t,$$

$$6t^2-5t+1=0.$$

Найдём корни:

$$D=25-24=1,$$

$$t_{1,2}=\frac{5\pm1}{12}.$$

Отсюда

$$t_1=\frac13,\quad t_2=\frac12.$$

Значит,

$$x=\arctg\frac13+\pi n \quad \text{или} \quad x=\arctg\frac12+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$y=\frac{\pi}{4}-x.$$

Получаем пары решений:

$$\left(\arctg\frac13+\pi n;\ \frac{\pi}{4}-\arctg\frac13-\pi n\right),$$

$$\left(\arctg\frac12+\pi n;\ \frac{\pi}{4}-\arctg\frac12-\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$\left(\frac{\pi}{4}+\pi n;\ \frac{\pi}{4}-\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$

2) $$\left(\arctg\frac13+\pi n;\ \frac{\pi}{4}-\arctg\frac13-\pi n\right),\ \left(\arctg\frac12+\pi n;\ \frac{\pi}{4}-\arctg\frac12-\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$