Упр.32.5 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Решите систему уравнений:

1. $$\begin{cases}x+y=\frac{?}{2},\\ \operatorname{tg}(x)+\operatorname{tg}(y)=2;\end{cases}$$
2. $$\begin{cases}x+y=\frac{?}{4},\\ \operatorname{tg}(x)\operatorname{tg}(y)=\frac{1}{6}.\end{cases}$$

1) Из первого уравнения получаем

$$x+y=\frac{\pi}{2}, \qquad y=\frac{\pi}{2}-x.$$

Подставим во второе уравнение:

$$\tg x+\tg\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=2,$$

$$\tg x+\ctg x=2.$$

Умножим на $$\tg x$$:

$$\tg^2 x-2\tg x+1=0,$$

$$\left(\tg x-1\right)^2=0,$$

$$\tg x=1.$$

Тогда

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad y=\frac{\pi}{4}-\pi n,\qquad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ: $$\left(\frac{\pi}{4}+\pi n;\,\frac{\pi}{4}-\pi n\right),\ n\in\mathbb{Z}.$$

2) Из первого уравнения имеем

$$x+y=\frac{\pi}{4}, \qquad y=\frac{\pi}{4}-x.$$

Подставим во второе уравнение:

$$\tg x\cdot \tg\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=\frac16.$$

Используем формулу

$$\tg(\alpha-\beta)=\frac{\tg\alpha-\tg\beta}{1+\tg\alpha\,\tg\beta}.$$

Тогда

$$\tg x\cdot \frac{1-\tg x}{1+\tg x}=\frac16.$$

После преобразований получаем:

$$6\tg x(1-\tg x)=1+\tg x,$$

$$6\tg x-6\tg^2 x=1+\tg x,$$

$$6\tg^2 x-5\tg x+1=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=25-24=1,$$

$$\tg x_1=\frac{5-1}{12}=\frac13,\qquad \tg x_2=\frac{5+1}{12}=\frac12.$$

Значит,

$$x=\arctg\frac13+\pi n \quad \text{или} \quad x=\arctg\frac12+\pi n,\qquad n\in\mathbb{Z}.$$

Тогда

$$y=\frac{\pi}{4}-\arctg\frac13-\pi n \quad \text{или} \quad y=\frac{\pi}{4}-\arctg\frac12-\pi n,\qquad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ: $$\left(\arctg\frac13+\pi n;\,\frac{\pi}{4}-\arctg\frac13-\pi n\right),\ n\in\mathbb{Z};$$ $$\left(\arctg\frac12+\pi n;\,\frac{\pi}{4}-\arctg\frac12-\pi n\right),\ n\in\mathbb{Z}.$$