Упр.32.4 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) 5sin(x/6)-cos(x/3)+3=0; 4) tg(x)+2ctg(x)=3;
2) cos(x)+sin(x/2)=0; 5) v3tg(x)+3=3/cos^2(x);
3) 2cos^2(4x)-6cos^2(2x)+1=0; 6) 4sin^2(x)+9ctg^2(x)=6.
$$5\sin\frac{x}{6}-\cos\frac{x}{3}+3=0$$
Используем формулу $$\cos\frac{x}{3}=1-2\sin^2\frac{x}{6}$$:
$$5\sin\frac{x}{6}-1+2\sin^2\frac{x}{6}+3=0$$
$$2\sin^2\frac{x}{6}+5\sin\frac{x}{6}+2=0$$
Пусть $$t=\sin\frac{x}{6}$$. Тогда
$$2t^2+5t+2=0$$
$$D=25-16=9$$
$$t_1=\frac{-5+3}{4}=-\frac12,\qquad t_2=\frac{-5-3}{4}=-2$$
Значение $$t_2=-2$$ не подходит, так как $$\sin\frac{x}{6}\in[-1;1]$$.
Тогда
$$\sin\frac{x}{6}=-\frac12$$
$$\frac{x}{6}=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$x=(-1)^{n+1}\pi+6\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$\cos x+\sin\frac{x}{2}=0$$
Преобразуем $$\cos x=1-2\sin^2\frac{x}{2}$$:
$$1-2\sin^2\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}=0$$
Пусть $$t=\sin\frac{x}{2}$$. Тогда
$$2t^2-t-1=0$$
$$D=1+8=9$$
$$t_1=\frac{1-3}{4}=-\frac12,\qquad t_2=\frac{1+3}{4}=1$$
1) $$\sin\frac{x}{2}=-\frac12$$, значит
$$\frac{x}{2}=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{3}+2\pi n$$
2) $$\sin\frac{x}{2}=1$$, значит
$$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad x=\pi+4\pi n$$
$$2\cos^2 4x-6\cos^2 2x+1=0$$
Используем формулу $$\cos 4x=2\cos^2 2x-1$$:
$$2(2\cos^2 2x-1)^2-6\cos^2 2x+1=0$$
$$8\cos^4 2x-14\cos^2 2x+3=0$$
Пусть $$t=\cos^2 2x$$. Тогда
$$8t^2-14t+3=0$$
$$D=196-96=100$$
$$t_1=\frac{14-10}{16}=\frac14,\qquad t_2=\frac{14+10}{16}=\frac32$$
Так как $$\cos^2 2x\le 1$$, значение $$t_2=\frac32$$ не подходит.
Тогда
$$\cos^2 2x=\frac14$$
$$\cos 2x=\pm\frac12$$
$$2x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$\tg x+2\ctg x=3$$
Пусть $$t=\tg x$$, тогда $$\ctg x=\frac1t$$, где $$t\ne 0$$:
$$t+\frac{2}{t}=3$$
$$t^2-3t+2=0$$
$$D=9-8=1$$
$$t_1=1,\qquad t_2=2$$
Следовательно,
$$\tg x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$
$$\tg x=2 \Rightarrow x=\arctg 2+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$\sqrt3\,\tg x+3=\frac{3}{\cos^2 x}$$
Так как $$\frac{1}{\cos^2 x}=1+\tg^2 x$$, получаем:
$$\sqrt3\,\tg x+3=3+3\tg^2 x$$
$$3\tg^2 x-\sqrt3\,\tg x=0$$
$$\tg x\left(3\tg x-\sqrt3\right)=0$$
$$\tg x=0 \quad \text{или} \quad \tg x=\frac{1}{\sqrt3}$$
Отсюда
$$x=\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$4\sin^2 x+9\ctg^2 x=6$$
Поскольку $$\ctg x=\frac{\cos x}{\sin x}$$, то $$\sin x\ne 0$$. Умножим уравнение на $$\sin^2 x$$:
$$4\sin^4 x+9\cos^2 x=6\sin^2 x$$
Подставим $$\cos^2 x=1-\sin^2 x$$:
$$4\sin^4 x+9(1-\sin^2 x)=6\sin^2 x$$
$$4\sin^4 x-15\sin^2 x+9=0$$
Пусть $$t=\sin^2 x$$. Тогда
$$4t^2-15t+9=0$$
$$D=225-144=81$$
$$t_1=\frac{15-9}{8}=\frac34,\qquad t_2=\frac{15+9}{8}=3$$
Так как $$\sin^2 x\le 1$$, значение $$t_2=3$$ не подходит.
Тогда
$$\sin^2 x=\frac34$$
$$\sin x=\pm\frac{\sqrt3}{2}$$
Отсюда
$$x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
Ответ
1) $$x=(-1)^{n+1}\pi+6\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
2) $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ x=\pi+4\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
3) $$x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
4) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ x=\arctg 2+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
5) $$x=\pi n,\ x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
6) $$x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.
