Упр.32.36 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 32.36. При каких значениях параметра а уравнения sin(2x)+a=sin(x)+2acos(x) и 2cos(2x)+a^2=5acos(x)-2 равносильны?

Преобразуем первое уравнение:

$$\sin 2x+a=\sin x+2a\cos x$$

$$2\sin x\cos x+a=\sin x+2a\cos x$$

$$2\sin x\cos x-\sin x+a-2a\cos x=0$$

$$\sin x(2\cos x-1)-a(2\cos x-1)=0$$

$$ (2\cos x-1)(\sin x-a)=0 $$

Отсюда решения первого уравнения задаются совокупностью:

$$\cos x=\frac12 \quad \text{или} \quad \sin x=a.$$

Преобразуем второе уравнение:

$$2\cos 2x+a^2=5a\cos x-2$$

$$2(2\cos^2 x-1)+a^2=5a\cos x-2$$

$$4\cos^2 x-2+a^2=5a\cos x-2$$

$$4\cos^2 x-5a\cos x+a^2=0$$

Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно $$\cos x$$:

$$4\cos^2 x-5a\cos x+a^2=0.$$

Чтобы уравнения были равносильны, их множества решений должны совпадать. Проверим значения параметра, при которых второе уравнение имеет те же решения, что и первое.

Если $$a=2$$, то второе уравнение принимает вид:

$$4\cos^2 x-10\cos x+4=0$$

$$2\cos^2 x-5\cos x+2=0$$

$$ (2\cos x-1)(\cos x-2)=0.$$

Так как $$\cos x=2$$ невозможно, остаётся только

$$\cos x=\frac12,$$

то есть решения второго уравнения совпадают с решениями первого при $$a=2$$.

Проверим, есть ли другие значения $$a$$. Для равносильности первое уравнение не должно давать дополнительных решений через $$\sin x=a$$, а второе — не должно иметь иных допустимых решений. Это выполняется только при $$a=2$$.

Ответ

$$a=2$$