Упр.32.35 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

При каких значениях параметра $$a$$ уравнения $$\sin(x)=2\sin^2(x)$$ и $$\sin(3x)=(a+1)\sin(x)-2(a-1)\sin^2(x)$$ равносильны?

Подробный ответ

Первое уравнение:

$$\sin x=2\sin^2 x$$

$$2\sin^2 x-\sin x=0$$

$$\sin x\,(2\sin x-1)=0$$

Отсюда

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=\frac12.$$

Второе уравнение:

$$\sin 3x=(a+1)\sin x-2(a-1)\sin^2 x$$

Используем формулу $$\sin 3x=3\sin x-4\sin^3 x$$:

$$3\sin x-4\sin^3 x=(a+1)\sin x-2(a-1)\sin^2 x$$

$$4\sin^3 x-2(a-1)\sin^2 x+(a-2)\sin x=0$$

$$\sin x\bigl(4\sin^2 x-2(a-1)\sin x+(a-2)\bigr)=0.$$

Пусть $$t=\sin x$$. Тогда для второго уравнения получаем:

$$t\bigl(4t^2-2(a-1)t+(a-2)\bigr)=0.$$

Один корень уже совпадает с первым уравнением: $$t=0$$.

Чтобы уравнения были равносильны, второй множитель должен давать ровно корень $$t=\frac12$$ и не давать других корней из промежутка $$[-1,1]$$.

Проверим, при каких $$a$$ квадратный трёхчлен имеет корни $$t=\frac12$$ и $$t=\frac{a-2}{2}$$:

$$4t^2-2(a-1)t+(a-2)=0.$$

Подставим $$t=\frac12$$:

$$4\cdot\frac14-2(a-1)\cdot\frac12+(a-2)=0,$$

$$1-(a-1)+(a-2)=0,$$

$$0=0.$$

Значит, $$t=\frac12$$ действительно является корнем при любом $$a$$, а второй корень равен

$$t=\frac{a-2}{2}.$$

Чтобы не появлялись лишние решения, этот корень должен лежать вне отрезка $$[-1,1]$$ или совпадать с уже имеющимися значениями $$0$$ и $$\frac12$$. Поэтому:

$$\frac{a-2}{2}<-1,\quad \frac{a-2}{2}=0,\quad \frac{a-2}{2}=\frac12,\quad \frac{a-2}{2}>1.$$

Отсюда:

$$a<0,\quad a=2,\quad a=3,\quad a>4.$$