Упр.32.35 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 32.35. При каких значениях параметра а уравнения sin(x)=2sin^2(x) и sin(3x)=(a+1)sin(x)-2(a-1)sin^2(x) равносильны?

Подробный ответ

Решим первое уравнение:

$$\sin x=2\sin^2 x$$

$$2\sin^2 x-\sin x=0$$

$$\sin x(2\sin x-1)=0$$

Отсюда

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=\frac12.$$

Рассмотрим второе уравнение:

$$\sin 3x=(a+1)\sin x-2(a-1)\sin^2 x$$

Используем формулу $$\sin 3x=3\sin x-4\sin^3 x$$:

$$3\sin x-4\sin^3 x=(a+1)\sin x-2(a-1)\sin^2 x$$

$$4\sin^3 x-2(a-1)\sin^2 x+(a-2)\sin x=0$$

$$\sin x\bigl(4\sin^2 x-2(a-1)\sin x+(a-2)\bigr)=0.$$

Значит, либо $$\sin x=0,$$ либо

$$4\sin^2 x-2(a-1)\sin x+(a-2)=0.$$

Найдём корни этого квадратного уравнения относительно $$\sin x$$:

$$D=[-2(a-1)]^2-4\cdot 4\cdot (a-2)=4(a-3)^2.$$

Тогда

$$\sin x=\frac{2(a-1)\pm 2(a-3)}{8}.$$

Получаем:

$$\sin x_1=\frac12,$$

$$\sin x_2=\frac{a-2}{2}.$$

Чтобы уравнения были равносильны, второе должно давать ровно те же значения $$\sin x$$, что и первое: $$0$$ и $$\frac12.$$

Значит, число $$\frac{a-2}{2}$$ не должно давать новых допустимых значений, кроме уже имеющихся. Рассмотрим случаи:

$$\frac{a-2}{2}<-1 \;\Rightarrow\; a<0;$$ тогда это значение не является допустимым для $$\sin x$$, и остаётся только $$\sin x=0$$ и $$\sin x=\frac12$$;
$$\frac{a-2}{2}=0 \;\Rightarrow\; a=2;$$
$$\frac{a-2}{2}=\frac12 \;\Rightarrow\; a=3;$$
$$\frac{a-2}{2}>1 \;\Rightarrow\; a>4;$$ тогда это значение также не является допустимым для $$\sin x$$.

Следовательно, уравнения равносильны при

$$a<0,\quad a=2,\quad a=3,\quad a>4.$$