Упр.32.34 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 32.34. Определите, при каких значениях параметра а уравнение cos^2(x)-(a-1/3)cos(x)-a/3=0 имеет на промежутке [?/4; 5?/3): 1) два корня; 2) три корня; 3) не менее трёх корней.

Подробный ответ

Положим $$t=\cos x.$$ Тогда уравнение принимает вид

$$t^2-\left(a-\frac13\right)t-\frac a3=0.$$

Найдём корни этого квадратного уравнения:

$$D=\left(a-\frac13\right)^2+4\cdot \frac a3=a^2+\frac23a+\frac19=\left(a+\frac13\right)^2.$$

Тогда

$$t_{1,2}=\frac{a-\frac13\pm \left|a+\frac13\right|}{2}.$$

После упрощения получаем корни по переменной $$t$$:

$$t_1=-\frac13,\qquad t_2=a.$$

Значит, нужно исследовать, сколько решений на промежутке $$\left[\frac{\pi}{4};\frac{5\pi}{3}\right)$$ имеют уравнения

$$\cos x=-\frac13 \quad \text{и} \quad \cos x=a.$$

На промежутке $$\left[\frac{\pi}{4};\frac{5\pi}{3}\right)$$ уравнение $$\cos x=-\frac13$$ имеет два решения, а уравнение $$\cos x=a$$ —

два решения при $$-\frac13<a<1$$,
одно решение при $$a=-1$$ или $$a=1$$,
ни одного решения при $$a<-1$$ или $$a>1$$.

При этом нужно учитывать совпадение корней: если $$a=-\frac13$$, то оба корня квадратного уравнения совпадают, и получается только одно уравнение $$\cos x=-\frac13$$.

Разберём случаи.

Два корня.
Это возможно, если одно из уравнений даёт два решения, а другое не даёт решений, либо если оба корня совпадают и соответствующее уравнение даёт два решения.
Получаем:
$$a>1,\quad a=-\frac13,\quad a<-1.$$
Три корня.
Это бывает, когда одно уравнение даёт два решения, а другое — одно решение:
$$a=-1,\quad \frac12<a\le \frac{\sqrt2}{2}.$$
Не менее трёх корней.
Объединяем случаи, когда решений три или больше:
$$-\frac13<a\le \frac{\sqrt2}{2}\quad \text{или}\quad a\ge 1.$$