Упр.32.33 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Определите, при каких значениях параметра $$a$$ уравнение $$\sin^2(x)-\left(a+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\sin(x)+\frac{a\sqrt{2}}{2}=0$$ имеет на промежутке $$\left[0;\frac{4\pi}{3}\right]$$:
1) два корня;
2) три корня;
3) не менее трёх корней.

Подробный ответ

Рассмотрим уравнение

$$\sin^2 x-\left(a+\frac{\sqrt2}{2}\right)\sin x+\frac{a\sqrt2}{2}=0.$$

Обозначим $$t=\sin x.$$ Тогда получаем квадратное уравнение

$$t^2-\left(a+\frac{\sqrt2}{2}\right)t+\frac{a\sqrt2}{2}=0.$$

Найдём его корни:

$$D=\left(a+\frac{\sqrt2}{2}\right)^2-4\cdot \frac{a\sqrt2}{2}=\left(a-\frac{\sqrt2}{2}\right)^2.$$

Следовательно,

$$t_{1,2}=\frac{a+\frac{\sqrt2}{2}\pm \left|a-\frac{\sqrt2}{2}\right|}{2}.$$

То есть корни уравнения по $$t$$ равны

$$t_1=\frac{\sqrt2}{2}, \qquad t_2=a.$$

Значит, исходное уравнение равносильно системе двух уравнений:

$$\sin x=\frac{\sqrt2}{2}, \qquad \sin x=a.$$

На отрезке $$\left[0;\frac{4\pi}{3}\right]$$ уравнение $$\sin x=\frac{\sqrt2}{2}$$ имеет два корня:

$$x=\frac{\pi}{4}, \qquad x=\frac{3\pi}{4}.$$

Теперь рассмотрим уравнение $$\sin x=a$$ на этом же отрезке.

На отрезке $$\left[0;\frac{4\pi}{3}\right]$$ значения синуса меняются от $$-\frac{\sqrt3}{2}$$ до $$1$$, причём:

$$\sin 0=0,\qquad \sin \frac{\pi}{2}=1,\qquad \sin \frac{4\pi}{3}=-\frac{\sqrt3}{2}.$$

Тогда число корней исходного уравнения зависит от положения числа $$a$$ относительно значений $$-\frac{\sqrt3}{2},\,0,\,\frac{\sqrt2}{2},\,1.$$

1) Два корня

Два корня будут в случаях, когда уравнение $$\sin x=a$$ не даёт дополнительных корней на отрезке, кроме уже найденных, либо даёт ровно один корень, совпадающий с одним из них. Получаем:

$$a<-\frac{\sqrt3}{2}, \qquad a=\frac{\sqrt2}{2}, \qquad a>1.$$

2) Три корня

Три корня получаются, если уравнение $$\sin x=a$$ даёт один дополнительный корень, не совпадающий с $$\frac{\pi}{4}$$ и $$\frac{3\pi}{4}$$. Это происходит при

$$a=1, \qquad -\frac{\sqrt3}{2}\le a<0.$$