Упр.32.33 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 32.33. Определите, при каких значениях параметра а уравнение sin^2(x)-(a+v2/2)sin(x)+av2/2=0 имеет на промежутке [0; 4?/3]: 1) два корня; 2) три корня; 3) не менее трёх корней.
Рассмотрим уравнение как квадратное относительно $$\sin x$$:
$$\sin^2 x-\left(a+\frac{\sqrt2}{2}\right)\sin x+\frac{a\sqrt2}{2}=0.$$
Обозначим $$t=\sin x$$. Тогда
$$t^2-\left(a+\frac{\sqrt2}{2}\right)t+\frac{a\sqrt2}{2}=0.$$
Найдём дискриминант:
$$ D=\left(a+\frac{\sqrt2}{2}\right)^2-4\cdot \frac{a\sqrt2}{2} =a^2+a\sqrt2+\frac12-2a\sqrt2 =a^2-a\sqrt2+\frac12 =\left(a-\frac{\sqrt2}{2}\right)^2. $$
Следовательно, корни уравнения относительно $$t$$:
$$ t_1=\frac{a+\frac{\sqrt2}{2}+\left|a-\frac{\sqrt2}{2}\right|}{2},\qquad t_2=\frac{a+\frac{\sqrt2}{2}-\left|a-\frac{\sqrt2}{2}\right|}{2}. $$
Удобнее записать их по случаям:
если $$a\ge \frac{\sqrt2}{2},$$ то
$$t_1=a,\qquad t_2=\frac{\sqrt2}{2};$$
если $$a<\frac{\sqrt2}{2},$$ то
$$t_1=\frac{\sqrt2}{2},\qquad t_2=a.$$
Теперь рассмотрим, сколько решений имеет уравнение $$\sin x=t$$ на отрезке $$\left[0;\frac{4\pi}{3}\right].$$
На этом отрезке:
$$\sin 0=0,\qquad \sin \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2},\qquad \sin \frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2},\qquad \sin \frac{4\pi}{3}=-\frac{\sqrt3}{2}.$$
Для значения $$t=\frac{\sqrt2}{2}$$ получаем два решения:
$$x=\frac{\pi}{4},\ \frac{3\pi}{4}.$$
Для $$t\in\left(-\frac{\sqrt3}{2},0\right)$$ — одно решение, для $$t=0$$ — одно решение, для $$t\in\left(0,\frac{\sqrt2}{2}\right)$$ — два решения, для $$t=\frac{\sqrt2}{2}$$ — два решения, для $$t\in\left(\frac{\sqrt2}{2},1\right]$$ — одно решение.
Теперь учитываем два значения $$t$$, полученные из квадратного уравнения.
Два корня.
Это возможно в случаях:
$$a<-\frac{\sqrt3}{2};\qquad a=\frac{\sqrt2}{2};\qquad a>1.$$
Три корня.
Это возможно при
$$a=1;\qquad -\frac{\sqrt3}{2}\le a<0.$$
Не менее трёх корней.
Это возможно при
$$-\frac{\sqrt3}{2}\le a<\frac{\sqrt2}{2};\qquad \frac{\sqrt2}{2}<a\le 1.$$
Объединяя, получаем:
$$-\frac{\sqrt3}{2}\le a\le 1,\qquad a\ne \frac{\sqrt2}{2}.$$
Ответ
1) $$a<-\frac{\sqrt3}{2},\ a=\frac{\sqrt2}{2},\ a>1.$$
2) $$a=1,\ -\frac{\sqrt3}{2}\le a<0.$$
3) $$-\frac{\sqrt3}{2}\le a\le 1,\ a\ne \frac{\sqrt2}{2}.$$
