Упр.32.31 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) 2sin^2(x)-sin(x)=0; 2) 2cos^2(x)-v3cos(x)=0?

1) Решим уравнение:

$$2\sin^2 x-\sin x=0$$

$$\sin x(2\sin x-1)=0$$

Отсюда:

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=\frac12.$$

Корни на промежутке $$[0;a]$$ идут так:

$$x_1=0,\quad x_2=\frac{\pi}{6},\quad x_3=\frac{\pi}{2},\quad x_4=\frac{5\pi}{6},\ldots$$

Чтобы на отрезке $$[0;a]$$ было ровно три корня, нужно, чтобы входили $$0,\ \frac{\pi}{6},\ \frac{\pi}{2}$$, но не входил $$\frac{5\pi}{6}$$. Значит,

$$\frac{\pi}{2}\le a<\frac{5\pi}{6}.$$

2) Решим уравнение:

$$2\cos^2 x-\sqrt3\cos x=0$$

$$\cos x(2\cos x-\sqrt3)=0$$

Отсюда:

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Корни на промежутке $$[0;a]$$ идут так:

$$x_1=\frac{\pi}{6},\quad x_2=\frac{\pi}{2},\quad x_3=\frac{3\pi}{2},\quad x_4=\frac{11\pi}{6},\ldots$$

Чтобы на отрезке $$[0;a]$$ было ровно три корня, нужно, чтобы входили $$\frac{\pi}{6},\ \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}$$, но не входил $$\frac{11\pi}{6}$$. Следовательно,

$$\frac{3\pi}{2}\le a<\frac{11\pi}{6}.$$

Ответ

1) $$\frac{\pi}{2}\le a<\frac{5\pi}{6}$$; 2) $$\frac{3\pi}{2}\le a<\frac{11\pi}{6}$$.