Упр.32.31 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. При каких положительных значениях параметра $$a$$ промежуток $$[0;a]$$ содержит ровно три корня уравнения: 1) $$2\sin^2(x)-\sin(x)=0$$; 2) $$2\cos^2(x)-\sqrt{3}\cos(x)=0$$?

1) Решим уравнение:

$$2\sin^2 x-\sin x=0$$

$$\sin x\,(2\sin x-1)=0$$

Отсюда:

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=\frac12.$$

Корни на промежутке $$[0;a]$$ имеют вид:

$$x=0,\ \pi,\ \frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6},\ldots$$

Чтобы промежуток $$[0;a]$$ содержал ровно три корня, нужно, чтобы в него входили числа

$$0,\ \frac{\pi}{6},\ \pi,$$

но не входило число $$\frac{5\pi}{6}.$$

Значит,

$$\frac{5\pi}{6}\le a<\pi.$$

2) Решим уравнение:

$$2\cos^2 x-\sqrt3\cos x=0$$

$$\cos x\,(2\cos x-\sqrt3)=0$$

Отсюда:

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Корни на промежутке $$[0;a]$$ имеют вид:

$$x=\frac{\pi}{6},\ \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2},\ \frac{11\pi}{6},\ldots$$

Чтобы промежуток $$[0;a]$$ содержал ровно три корня, нужно, чтобы в него входили числа

$$\frac{\pi}{6},\ \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2},$$

но не входило число $$\frac{11\pi}{6}.$$

Следовательно,

$$\frac{3\pi}{2}\le a<\frac{11\pi}{6}.$$

Ответ

1) $$\frac{5\pi}{6}\le a<\pi.$$
2) $$\frac{3\pi}{2}\le a<\frac{11\pi}{6}.$$