Упр.32.30 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 32.30. Решите уравнение sin(x)+cos(x)=1+sin(x)cos(x).

Обозначим

$$y=\sin x+\cos x.$$

Тогда

$$y^2=\sin^2 x+2\sin x\cos x+\cos^2 x=1+2\sin x\cos x,$$

откуда

$$\sin x\cos x=\frac{y^2-1}{2}.$$

Подставим это в уравнение:

$$y=1+\frac{y^2-1}{2}.$$

Умножим на 2:

$$2y=2+y^2-1,$$

$$y^2-2y+1=0,$$

$$\left(y-1\right)^2=0.$$

Следовательно,

$$y=1,$$

то есть

$$\sin x+\cos x=1.$$

Преобразуем левую часть:

$$\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x\right)=1,$$

$$\sin\frac{\pi}{4}\sin x+\cos\frac{\pi}{4}\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2},$$

$$\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Тогда

$$x-\frac{\pi}{4}=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Отсюда получаем:

$$x=2\pi n$$

или

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ

$$x=2\pi n,\ \frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$