Упр.32.32 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) 2sin^2(x)+sin(x)=0, n=4; 2) 2cos^2(x)+cos(x)=0, n=3.

1) Решим уравнение:

$$2\sin^2 x+\sin x=0$$

$$\sin x(2\sin x+1)=0$$

Отсюда:

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=-\frac12.$$

Корни уравнения:

$$x=\pi n,$$

$$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Положительные корни, попадающие в промежуток $$[0;a]$$, должны быть ровно четырьмя. Первые четыре положительных корня:

$$\frac{11\pi}{6},\ \pi,\ \frac{7\pi}{6},\ 2\pi.$$

Чтобы в промежутке $$[0;a]$$ было ровно 4 корня, нужно взять

$$\frac{11\pi}{6}\le a<2\pi.$$

2) Решим уравнение:

$$2\cos^2 x+\cos x=0$$

$$\cos x(2\cos x+1)=0$$

Отсюда:

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=-\frac12.$$

Корни уравнения:

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$

$$x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Первые три положительные корня:

$$\frac{2\pi}{3},\ \frac{4\pi}{3},\ \frac{3\pi}{2}.$$

Чтобы в промежутке $$[0;a]$$ было ровно 3 корня, нужно взять

$$\frac{4\pi}{3}\le a<\frac{3\pi}{2}.$$

Ответ

1) $$\frac{11\pi}{6}\le a<2\pi.$$

2) $$\frac{4\pi}{3}\le a<\frac{3\pi}{2}.$$