Упр.32.3 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   1) $$2\sin^2(x)+7\cos(x)+2=0$$;
   2) $$2\cos(x)-\cos(2x)-\cos^2(x)=0$$;
   3) $$\cos\left(\frac{2x}{3}\right)-5\cos\left(\frac{x}{3}\right)-2=0$$;
   4) $$\cos(2x)-\cos^2(x)-\sqrt{2}\sin(x)=0$$;
   5) $$8\sin^2(3x)+4\sin^2(6x)=5$$;
   6) $$4\operatorname{tg}(5x)+3\operatorname{ctg}(5x)=7$$;
   7) $$\frac{1}{\sin^2(x)}=\operatorname{ctg}(x)+3$$;
   8) $$2\operatorname{tg}^2(x)+4\cos^2(x)=7$$.

1) $$2\sin^2 x+7\cos x+2=0$$

$$2-2\cos^2 x+7\cos x+2=0$$

$$2\cos^2 x-7\cos x-4=0$$

$$D=7^2+4\cdot 2\cdot 4=81$$

$$\cos x=\frac{7\pm 9}{4}$$

$$\cos x_1=-\frac12,\qquad \cos x_2=4$$

Так как $$\cos x_2>1,$$ то этот корень не подходит. Тогда

$$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

2) $$2\cos x-\cos 2x-\cos^2 x=0$$

$$2\cos x-(2\cos^2 x-1)-\cos^2 x=0$$

$$3\cos^2 x-2\cos x-1=0$$

$$D=2^2+4\cdot 3\cdot 1=16$$

$$\cos x=\frac{2\pm 4}{6}$$

$$\cos x_1=-\frac13,\qquad \cos x_2=1$$

Следовательно,

$$x=\pm \arccos\!\left(-\frac13\right)+2\pi n,\quad x=2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

3) $$\cos \frac{2x}{3}-5\cos \frac{x}{3}-2=0$$

Положим $$t=\cos \frac{x}{3}.$$ Тогда

$$2t^2-1-5t-2=0$$

$$2t^2-5t-3=0$$

$$D=5^2+4\cdot 2\cdot 3=49$$

$$t=\frac{5\pm 7}{4}$$

$$t_1=-\frac12,\qquad t_2=3$$

Значит, $$\cos \frac{x}{3}=-\frac12,$$ откуда

$$\frac{x}{3}=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n$$

$$x=\pm 2\pi+6\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

4) $$\cos 2x-\cos^2 x-\sqrt{2}\sin x=0$$

$$1-2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)-\sqrt{2}\sin x=0$$

$$\sin^2 x+\sqrt{2}\sin x=0$$

$$\sin x(\sin x+\sqrt{2})=0$$

Так как $$\sin x=-\sqrt{2}$$ невозможно, то

$$\sin x=0,\quad x=\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

5) $$8\sin^2 3x+4\sin^2 6x=5$$

$$8\sin^2 3x+16\sin^2 3x\cos^2 3x=5$$

$$8\sin^2 3x+16(1-\sin^2 3x)\sin^2 3x=5$$

$$16\sin^4 3x-24\sin^2 3x+5=0$$

Пусть $$t=\sin^2 3x.$$ Тогда

$$16t^2-24t+5=0$$

$$D=24^2-4\cdot 16\cdot 5=256$$

$$t=\frac{24\pm 16}{32}$$

$$t_1=\frac14,\qquad t_2=\frac54$$

Так как $$\sin^2 3x\le 1,$$ то подходит только $$\sin^2 3x=\frac14.$$ Тогда

$$\sin 3x=\pm \frac12$$

$$3x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n$$

$$x=\pm \frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{3},\quad n\in \mathbb{Z}.$$

6) $$4\tg 5x+3\ctg 5x=7$$

Положим $$t=\tg 5x,$$ тогда $$\ctg 5x=\frac1t.$$ Получаем

$$4t+\frac{3}{t}-7=0$$

$$4t^2-7t+3=0$$

$$D=7^2-4\cdot 4\cdot 3=1$$

$$t=\frac{7\pm 1}{8}$$

$$t_1=\frac34,\qquad t_2=1$$

Следовательно,

$$5x=\arctg \frac34+\pi n$$

или

$$5x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$

Отсюда

$$x=\frac15\arctg \frac34+\frac{\pi n}{5},\quad x=\frac{\pi}{20}+\frac{\pi n}{5},\quad n\in \mathbb{Z}.$$

7) $$\frac{1}{\sin^2 x}=\ctg x+3$$

$$1+\ctg^2 x=\ctg x+3$$

$$\ctg^2 x-\ctg x-2=0$$

$$D=1^2+4\cdot 1\cdot 2=9$$

$$\ctg x=\frac{1\pm 3}{2}$$

$$\ctg x_1=-1,\qquad \ctg x_2=2$$

Тогда

$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad x=\operatorname{arcctg} 2+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

8) $$2\tg^2 x+4\cos^2 x=7$$

$$\frac{2}{\cos^2 x}+4\cos^2 x=7$$

$$4\cos^4 x-9\cos^2 x+2=0$$

Пусть $$t=\cos^2 x.$$ Тогда

$$4t^2-9t+2=0$$

$$D=9^2-4\cdot 4\cdot 2=49$$

$$t=\frac{9\pm 7}{8}$$

$$t_1=\frac14,\qquad t_2=1$$

Значит,

$$\cos^2 x=\frac14 \quad \text{или} \quad \cos^2 x=1.$$

Из первого случая получаем

$$\cos x=\pm \frac12,\quad x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n.$$

Из второго случая

$$\cos x=\pm 1,\quad x=\pi n.$$

Но эти решения уже входят в общий вид $$x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n$$ при соответствующих значениях $$n,$$ поэтому

$$x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$