Упр.32.3 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) 2sin^2(x)+7cos(x)+2=0; 5) 8sin^2(3x)+4sin^2(6x)=5;
2) 2cos(x)-cos(2x)-cos^2(x)=0; 6) 4tg(5x)+3ctg(5x)=7;
3) cos(2x/3)-5cos(x/3)-2=0; 7) 1/sin^2(x)=ctg(x)+3;
4) cos(2x)-cos^2(x)-v2sin(x)=0; 8) 2tg^2(x)+4cos^2(x)=7.
$$2\sin^2 x+7\cos x+2=0$$
$$2(1-\cos^2 x)+7\cos x+2=0$$
$$2\cos^2 x-7\cos x-4=0$$
$$D=49+32=81$$
$$\cos x=\frac{7\pm 9}{4}$$
$$\cos x=-\frac12 \quad \text{или} \quad \cos x=4$$
Значение $$\cos x=4$$ не подходит, так как $$|\cos x|\le 1$$.
$$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\; n\in \mathbb Z$$
$$2\cos x-\cos 2x-\cos^2 x=0$$
$$2\cos x-(2\cos^2 x-1)-\cos^2 x=0$$
$$3\cos^2 x-2\cos x-1=0$$
$$D=4+12=16$$
$$\cos x=\frac{2\pm 4}{6}$$
$$\cos x=-\frac13 \quad \text{или} \quad \cos x=1$$
$$x=\pm \arccos\!\left(-\frac13\right)+2\pi n \quad \text{или} \quad x=2\pi n,\; n\in \mathbb Z$$
$$\cos \frac{2x}{3}-5\cos \frac{x}{3}-2=0$$
Положим $$t=\cos \frac{x}{3}$$. Тогда
$$2t^2-1-5t-2=0$$
$$2t^2-5t-3=0$$
$$D=25+24=49$$
$$t=\frac{5\pm 7}{4}$$
$$t=-\frac12 \quad \text{или} \quad t=3$$
Значение $$t=3$$ не подходит, так как $$|\cos \frac{x}{3}|\le 1$$.
$$\cos \frac{x}{3}=-\frac12$$
$$\frac{x}{3}=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n$$
$$x=\pm 2\pi+6\pi n,\; n\in \mathbb Z$$
$$\cos 2x-\cos^2 x-\sqrt2\sin x=0$$
$$1-2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)-\sqrt2\sin x=0$$
$$\sin^2 x+\sqrt2\sin x=0$$
$$\sin x(\sin x+\sqrt2)=0$$
$$\sin x=0$$, так как $$\sin x=-\sqrt2$$ невозможно.
$$x=\pi n,\; n\in \mathbb Z$$
$$8\sin^2 3x+4\sin^2 6x=5$$
$$\sin 6x=2\sin 3x\cos 3x$$
$$8\sin^2 3x+16\sin^2 3x\cos^2 3x=5$$
$$8\sin^2 3x+16(1-\sin^2 3x)\sin^2 3x=5$$
$$16\sin^4 3x-24\sin^2 3x+5=0$$
Положим $$t=\sin^2 3x$$. Тогда
$$16t^2-24t+5=0$$
$$D=256$$
$$t=\frac{24\pm 16}{32}$$
$$t=\frac14 \quad \text{или} \quad t=\frac54$$
Значение $$t=\frac54$$ не подходит, так как $$\sin^2 3x\le 1$$.
$$\sin^2 3x=\frac14$$
$$\sin 3x=\pm \frac12$$
$$3x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n$$
$$x=\pm \frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{3},\; n\in \mathbb Z$$
$$4\tg 5x+3\ctg 5x=7$$
Положим $$t=\tg 5x$$, тогда $$\ctg 5x=\frac1t$$:
$$4t+\frac{3}{t}=7$$
$$4t^2-7t+3=0$$
$$D=1$$
$$t=\frac{7\pm 1}{8}$$
$$t=\frac34 \quad \text{или} \quad t=1$$
$$\tg 5x=\frac34 \Rightarrow 5x=\arctg \frac34+\pi n$$
$$\tg 5x=1 \Rightarrow 5x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$
$$x=\frac15\arctg \frac34+\frac{\pi n}{5} \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{20}+\frac{\pi n}{5},\; n\in \mathbb Z$$
$$\frac{1}{\sin^2 x}=\ctg x+3$$
$$1+\ctg^2 x=\ctg x+3$$
$$\ctg^2 x-\ctg x-2=0$$
$$D=9$$
$$\ctg x=\frac{1\pm 3}{2}$$
$$\ctg x=-1 \quad \text{или} \quad \ctg x=2$$
$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n \quad \text{или} \quad x=\operatorname{arcctg} 2+\pi n,\; n\in \mathbb Z$$
$$2\tg^2 x+4\cos^2 x=7$$
$$\frac{2}{\cos^2 x}+4\cos^2 x=7$$
Положим $$t=\cos^2 x$$. Тогда
$$4t^2-9t+2=0$$
$$D=49$$
$$t=\frac{9\pm 7}{8}$$
$$t=\frac14 \quad \text{или} \quad t=2$$
Значение $$t=2$$ не подходит, так как $$\cos^2 x\le 1$$.
$$\cos^2 x=\frac14$$
$$\cos x=\pm \frac12$$
$$x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n,\; n\in \mathbb Z$$
Ответ
- $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\; n\in \mathbb Z$$
- $$x=\pm \arccos\!\left(-\frac13\right)+2\pi n,\; x=2\pi n,\; n\in \mathbb Z$$
- $$x=\pm 2\pi+6\pi n,\; n\in \mathbb Z$$
- $$x=\pi n,\; n\in \mathbb Z$$
- $$x=\pm \frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{3},\; n\in \mathbb Z$$
- $$x=\frac15\arctg \frac34+\frac{\pi n}{5},\; x=\frac{\pi}{20}+\frac{\pi n}{5},\; n\in \mathbb Z$$
- $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; x=\operatorname{arcctg} 2+\pi n,\; n\in \mathbb Z$$
- $$x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n,\; n\in \mathbb Z$$
