Упр.32.29 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   1) $$\sin^3(x)+\cos^3(x)=1$$;
   2) $$\frac{1+\sin(2x)}{1-\sin(2x)}+2\cdot\frac{1+\tg(x)}{1-\tg(x)}=3$$.

1) Преобразуем левую часть:

$$\sin^3 x+\cos^3 x=(\sin x+\cos x)(\sin^2 x-\sin x\cos x+\cos^2 x).$$

Так как $$\sin^2 x+\cos^2 x=1,$$ получаем

$$\sin^3 x+\cos^3 x=(\sin x+\cos x)(1-\sin x\cos x).$$

Обозначим $$y=\sin x+\cos x.$$ Тогда

$$y^2=\sin^2 x+2\sin x\cos x+\cos^2 x=1+2\sin x\cos x,$$

откуда

$$\sin x\cos x=\frac{y^2-1}{2}.$$

Подставим в уравнение:

$$y\left(1-\frac{y^2-1}{2}\right)=1,$$

$$y\cdot \frac{3-y^2}{2}=1,$$

$$y^3-3y+2=0,$$

$$(y-1)^2(y+2)=0.$$

Следовательно, $$y=1$$ или $$y=-2.$$

Но $$\sin x+\cos x\in[-\sqrt2,\sqrt2],$$ значит $$y=-2$$ невозможно. Остаётся

$$\sin x+\cos x=1.$$

Тогда

$$\sqrt2\left(\frac{\sin x+\cos x}{\sqrt2}\right)=1,$$

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Отсюда

$$x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad x+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,$$

$$x=2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) Рассмотрим уравнение

$$\frac{1+\sin 2x}{1-\sin 2x}+2\cdot \frac{1+\tg x}{1-\tg x}=3.$$

Используем формулы $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$ и $$\tg x=\frac{\sin x}{\cos x}.$$ Тогда

$$\frac{1+2\sin x\cos x}{1-2\sin x\cos x}+2\cdot \frac{\cos x+\sin x}{\cos x-\sin x}=3.$$

Обозначим

$$y=\frac{\cos x+\sin x}{\cos x-\sin x}.$$

Тогда

$$y^2=\frac{(\cos x+\sin x)^2}{(\cos x-\sin x)^2} =\frac{1+2\sin x\cos x}{1-2\sin x\cos x}.$$

Уравнение принимает вид

$$y^2+2y=3,$$

$$y^2+2y-3=0,$$

$$(y-1)(y+3)=0.$$

Значит, $$y=1$$ или $$y=-3.$$

1) Если $$\frac{\cos x+\sin x}{\cos x-\sin x}=1,$$ то

$$\cos x+\sin x=\cos x-\sin x,$$

$$2\sin x=0,$$

$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) Если $$\frac{\cos x+\sin x}{\cos x-\sin x}=-3,$$ то

$$\cos x+\sin x=-3(\cos x-\sin x),$$

$$4\cos x-2\sin x=0,$$

$$\tg x=2,$$

$$x=\arctg 2+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

При этом нужно учитывать, что знаменатели не обращаются в нуль; найденные значения этому условию удовлетворяют.

Ответ

1) $$x=2\pi n,\ \frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

2) $$x=\pi n,\ \arctg 2+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$