Упр.32.29 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) sin^3(x)+cos^3(x)=1;
2) (1+sin(2x))/(1-sin(2x))+2·(1+tg(x))/(1-tg(x))=3.

1) $$\sin^3 x+\cos^3 x=1.$$

Используем формулу суммы кубов:

$$ \sin^3 x+\cos^3 x=(\sin x+\cos x)(1-\sin x\cos x). $$

Обозначим $$y=\sin x+\cos x.$$ Тогда

$$ y^2=\sin^2 x+2\sin x\cos x+\cos^2 x=1+2\sin x\cos x, $$

откуда

$$ \sin x\cos x=\frac{y^2-1}{2}. $$

Подставим в уравнение:

$$ y\left(1-\frac{y^2-1}{2}\right)=1, $$

$$ y\cdot \frac{3-y^2}{2}=1, $$

$$ y^3-3y+2=0, $$

$$ (y-1)^2(y+2)=0. $$

Получаем:

$$ y=1 \quad \text{или} \quad y=-2. $$

Но $$\sin x+\cos x\in[-\sqrt2,\sqrt2],$$ значит $$y=-2$$ невозможно. Следовательно,

$$ \sin x+\cos x=1. $$

Тогда

$$ \sqrt2\left(\frac{\sin x+\cos x}{\sqrt2}\right)=1, $$

$$ \sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}. $$

Отсюда

$$ x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad x+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n, $$

$$ x=2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

2) $$\frac{1+\sin 2x}{1-\sin 2x}+2\cdot \frac{1+\tg x}{1-\tg x}=3.$$

Преобразуем выражения:

$$ \sin 2x=2\sin x\cos x, $$

$$ \frac{1+\sin 2x}{1-\sin 2x} =\frac{1+2\sin x\cos x}{1-2\sin x\cos x}. $$

Кроме того,

$$ \frac{1+\tg x}{1-\tg x} =\frac{1+\frac{\sin x}{\cos x}}{1-\frac{\sin x}{\cos x}} =\frac{\cos x+\sin x}{\cos x-\sin x}. $$

Обозначим

$$ y=\frac{\cos x+\sin x}{\cos x-\sin x}. $$

Тогда

$$ y^2=\frac{(\cos x+\sin x)^2}{(\cos x-\sin x)^2} =\frac{1+2\sin x\cos x}{1-2\sin x\cos x}. $$

Уравнение принимает вид

$$ y^2+2y=3, $$

$$ y^2+2y-3=0, $$

$$ (y-1)(y+3)=0. $$

Значит,

$$ y=1 \quad \text{или} \quad y=-3. $$

1. Если $$y=1,$$ то

$$ \frac{\cos x+\sin x}{\cos x-\sin x}=1, $$

$$ \cos x+\sin x=\cos x-\sin x, $$

$$ \sin x=0, $$

$$ x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

2. Если $$y=-3,$$ то

$$ \frac{\cos x+\sin x}{\cos x-\sin x}=-3, $$

$$ \cos x+\sin x=-3\cos x+3\sin x, $$

$$ 2\cos x-\sin x=0, $$

$$ \tg x=2, $$

$$ x=\arctg 2+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

Ответ

1) $$x=2\pi n,\ \frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

2) $$x=\pi n,\ \arctg 2+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$