Упр.32.28 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение $$\sin(2x)+5(\sin(x)+\cos(x))=0$$.

$$\sin 2x+5(\sin x+\cos x)=0$$

$$2\sin x\cos x=-5(\sin x+\cos x).$$

Обозначим $$y=\sin x+\cos x.$$ Тогда

$$y^2=\sin^2 x+2\sin x\cos x+\cos^2 x=1+2\sin x\cos x,$$

откуда

$$2\sin x\cos x=y^2-1,\qquad \sin x\cos x=\frac{y^2-1}{2}.$$

Подставим в уравнение:

$$y^2-1=-5y,$$

$$y^2+5y-1=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=5^2-4\cdot 1\cdot(-1)=25+4=29,$$

$$y=\frac{-5\pm\sqrt{29}}{2}.$$

Так как $$\sin x+\cos x\in[-\sqrt2,\sqrt2],$$ то подходит только

$$y=\frac{\sqrt{29}-5}{2}.$$

Тогда

$$\sin x+\cos x=\frac{\sqrt{29}-5}{2}.$$

Используем формулу суммы:

$$\sin x+\cos x=\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right).$$

Получаем

$$\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{29}-5}{2},$$

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{29}-5}{2\sqrt2}.$$

Следовательно,

$$x+\frac{\pi}{4}=(-1)^n\arcsin\frac{\sqrt{29}-5}{2\sqrt2}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Отсюда

$$x=(-1)^n\arcsin\frac{\sqrt{29}-5}{2\sqrt2}-\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

$$x=(-1)^n\arcsin\frac{\sqrt{29}-5}{2\sqrt2}-\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$