Упр.32.27 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 32.27. Решите уравнение 2sin(2x)=3(sin(x)+cos(x)).

Преобразуем уравнение:

$$2\sin 2x=3(\sin x+\cos x)$$

$$4\sin x\cos x=3(\sin x+\cos x).$$

Обозначим

$$y=\sin x+\cos x.$$

Тогда

$$y^2=\sin^2 x+2\sin x\cos x+\cos^2 x=1+2\sin x\cos x,$$

откуда

$$2\sin x\cos x=y^2-1.$$

Подставим в уравнение:

$$2(y^2-1)=3y,$$

$$2y^2-3y-2=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D= (-3)^2-4\cdot 2\cdot(-2)=9+16=25,$$

$$y_{1,2}=\frac{3\pm 5}{4}.$$

Получаем:

$$y_1=2,\qquad y_2=-\frac12.$$

1) Если $$\sin x+\cos x=2,$$ то

$$\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}\sin x+\frac{\sqrt2}{2}\cos x\right)=2,$$

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt2,$$

что невозможно, так как $$|\sin(\cdot)|\le 1.$$

2) Если $$\sin x+\cos x=-\frac12,$$ то

$$\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}\sin x+\frac{\sqrt2}{2}\cos x\right)=-\frac12,$$

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{1}{2\sqrt2}.$$

Тогда

$$x+\frac{\pi}{4}=(-1)^{n+1}\arcsin\frac{1}{2\sqrt2}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z,$$

и, следовательно,

$$x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac{1}{2\sqrt2}-\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

$$x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac{1}{2\sqrt2}-\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$