Упр.32.27 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение $$2\sin(2x)=3(\sin(x)+\cos(x))$$.

Преобразуем уравнение:

$$2\sin 2x=3(\sin x+\cos x)$$

$$4\sin x\cos x=3(\sin x+\cos x).$$

Обозначим $$y=\sin x+\cos x.$$ Тогда

$$y^2=\sin^2 x+2\sin x\cos x+\cos^2 x=1+2\sin x\cos x,$$

откуда

$$2\sin x\cos x=y^2-1.$$

Подставим в уравнение:

$$2(y^2-1)=3y,$$

$$2y^2-3y-2=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=(-3)^2-4\cdot 2\cdot(-2)=9+16=25,$$

$$y_{1,2}=\frac{3\pm 5}{4}.$$

Получаем:

$$y_1=2,\qquad y_2=-\frac12.$$

Рассмотрим оба случая.

1) $$\sin x+\cos x=2.$$

Но $$\sin x+\cos x\le \sqrt2,$$ поэтому это значение невозможно.

2) $$\sin x+\cos x=-\frac12.$$

Представим сумму в виде:

$$\sin x+\cos x=\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right).$$

Тогда

$$\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac12,$$

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{1}{2\sqrt2}.$$

Следовательно,

$$x+\frac{\pi}{4}=(-1)^{n+1}\arcsin\frac{1}{2\sqrt2}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Отсюда

$$x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac{1}{2\sqrt2}-\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

$$x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac{1}{2\sqrt2}-\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$