Упр.32.26 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) v(10-18cos(x))=6cos(x)-2;
2) v(3+4cos(2x))=v(2cos(x)).

1. $$\sqrt{10-18\cos x}=6\cos x-2.$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$10-18\cos x=(6\cos x-2)^2.$$

   $$10-18\cos x=36\cos^2 x-24\cos x+4,$$

   $$36\cos^2 x-6\cos x-6=0,$$

   $$6\cos^2 x-\cos x-1=0.$$

   Решим квадратное уравнение:

   $$D=(-1)^2-4\cdot 6\cdot(-1)=25,$$

   $$\cos x=\frac{1\pm 5}{12}.$$

   Получаем:

   $$\cos x=\frac12 \quad \text{или} \quad \cos x=-\frac13.$$

   Проверим область допустимых значений исходного уравнения:

   $$10-18\cos x\ge 0 \Rightarrow \cos x\le \frac59,$$

   $$6\cos x-2\ge 0 \Rightarrow \cos x\ge \frac13.$$

   Значение $$\cos x=-\frac13$$ не подходит, остаётся

   $$\cos x=\frac12.$$

   Тогда

   $$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

2. $$\sqrt{3+4\cos 2x}=\sqrt{2\cos x}.$$

   Используем формулу $$\cos 2x=2\cos^2 x-1$$:

   $$3+4(2\cos^2 x-1)=2\cos x,$$

   $$8\cos^2 x-2\cos x-1=0.$$

   Решим квадратное уравнение:

   $$D=(-2)^2-4\cdot 8\cdot(-1)=36,$$

   $$\cos x=\frac{2\pm 6}{16}.$$

   Получаем:

   $$\cos x=\frac12 \quad \text{или} \quad \cos x=-\frac14.$$

   Так как справа стоит корень, нужно $$2\cos x\ge 0$$, то есть $$\cos x\ge 0.$$

   Значение $$\cos x=-\frac14$$ не подходит, значит

   $$\cos x=\frac12.$$

   Следовательно,

   $$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in \mathbb Z.$$

2) $$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in \mathbb Z.$$