Упр.32.25 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение: 1) $$\sqrt{-\cos(2x)}=-\sqrt{2}\cos(x)$$; 2) $$\sqrt{2-3\cos(2x)}=\sqrt{\sin(x)}$$.

1) $$\sqrt{-\cos 2x}=-\sqrt2\cos x.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$-\cos 2x=2\cos^2 x.$$

Так как $$\cos 2x=2\cos^2 x-1,$$ получаем

$$-(2\cos^2 x-1)=2\cos^2 x,$$

$$4\cos^2 x=1,$$

$$\cos^2 x=\frac14.$$

Тогда

$$\cos x=\pm \frac12.$$

Но из области определения нужно, чтобы

$$-\sqrt2\cos x\ge 0,\qquad -\cos 2x\ge 0,$$

то есть $$\cos x\le 0$$ и $$\cos 2x\le 0.$$

Следовательно, подходит только

$$\cos x=-\frac12.$$

Отсюда

$$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

2) $$\sqrt{2-3\cos 2x}=\sqrt{\sin x}.$$

Область определения: $$\sin x\ge 0.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$2-3\cos 2x=\sin x.$$

Подставим $$\cos 2x=1-2\sin^2 x$$:

$$2-3(1-2\sin^2 x)=\sin x,$$

$$6\sin^2 x-\sin x-1=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=(-1)^2-4\cdot 6\cdot(-1)=25,$$

$$\sin x=\frac{1\pm 5}{12}.$$

Получаем

$$\sin x=\frac12 \quad \text{или} \quad \sin x=-\frac13.$$

С учётом условия $$\sin x\ge 0$$ остаётся только

$$\sin x=\frac12.$$

Тогда

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
2) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$