Упр.32.25 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) v(-cos(2x))=-v2cos(x);
2) v(2-3cos(2x))=vsin(x).

1. $$\sqrt{-\cos 2x}=-\sqrt2\cos x.$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$-\cos 2x=2\cos^2 x.$$

   Используем формулу $$\cos 2x=2\cos^2 x-1$$:

   $$-(2\cos^2 x-1)=2\cos^2 x,$$

   $$4\cos^2 x=1,$$

   $$\cos^2 x=\frac14.$$

   Тогда

   $$\cos x=\pm \frac12.$$

   Но из области определения нужно:

   $$-\sqrt2\cos x\ge 0 \Rightarrow \cos x\le 0,$$

   $$-\cos 2x\ge 0 \Rightarrow \cos 2x\le 0.$$

   Значит, подходит только $$\cos x=-\frac12.$$ Тогда

   $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\sqrt{2-3\cos 2x}=\sqrt{\sin x}.$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$2-3\cos 2x=\sin x.$$

   Подставим $$\cos 2x=1-2\sin^2 x$$:

   $$2-3(1-2\sin^2 x)=\sin x,$$

   $$6\sin^2 x-\sin x-1=0.$$

   Решим квадратное уравнение:

   $$D=(-1)^2-4\cdot 6\cdot(-1)=25,$$

   $$\sin x=\frac{1\pm 5}{12}.$$

   Получаем:

   $$\sin x=\frac12 \quad \text{или} \quad \sin x=-\frac13.$$

   Так как справа стоит $$\sqrt{\sin x},$$ то обязательно $$\sin x\ge 0,$$ значит, остаётся только

   $$\sin x=\frac12.$$

   Тогда

   $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

2) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$