Упр.32.24 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) sin^3(x)+sin(3x)=3v3/4sin(2x);
2) cos(6x)+8cos(2x)-4cos(4x)-5=0.

Подробный ответ

1) Преобразуем уравнение, используя формулу $$\sin 3x=3\sin x-4\sin^3 x$$ и $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:

$$ \sin^3 x+\sin 3x=\frac{3\sqrt3}{4}\sin 2x $$
$$ \sin^3 x+3\sin x-4\sin^3 x=\frac{3\sqrt3}{2}\sin x\cos x $$
$$ 3\sin x-3\sin^3 x-\frac{3\sqrt3}{2}\sin x\cos x=0 $$
$$ 3\sin x\cos^2 x-\frac{3\sqrt3}{2}\sin x\cos x=0 $$
$$ 3\sin x\cos x\left(\cos x-\frac{\sqrt3}{2}\right)=0 $$

Отсюда:

$$ \sin x\cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=\frac{\sqrt3}{2}. $$

Если $$\sin x\cos x=0$$, то $$x=\frac{\pi n}{2}$$.

Если $$\cos x=\frac{\sqrt3}{2}$$, то $$x=\pm \frac{\pi}{6}+2\pi n$$.

2) Преобразуем уравнение, используя формулы $$\cos 6x=4\cos^3 2x-3\cos 2x$$ и $$\cos 4x=2\cos^2 2x-1$$:

$$ \cos 6x+8\cos 2x-4\cos 4x-5=0 $$
$$ 4\cos^3 2x-3\cos 2x+8\cos 2x-4(2\cos^2 2x-1)-5=0 $$
$$ 4\cos^3 2x-8\cos^2 2x+5\cos 2x-1=0 $$
$$ (\cos 2x-1)(4\cos^2 2x-4\cos 2x+1)=0 $$
$$ (\cos 2x-1)(2\cos 2x-1)^2=0 $$

Отсюда:

$$ \cos 2x=1 \quad \text{или} \quad \cos 2x=\frac12. $$

Если $$\cos 2x=1$$, то $$2x=2\pi n$$, значит $$x=\pi n$$.

Если $$\cos 2x=\frac12$$, то $$2x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n$$, значит $$x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n$$.