Упр.32.23 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) 3cos(x)+3sin(x)+sin(3x)-cos(3x)=0;
2) cos(4x)=cos^2(3x);
3) sin^3(x)sin(3x)+cos^3(x)cos(3x)=cos^3(4x).

Подробный ответ

$$3\cos x+3\sin x+\sin 3x-\cos 3x=0$$
Используем формулы:
$$\sin 3x=3\sin x-4\sin^3 x,\qquad \cos 3x=4\cos^3 x-3\cos x.$$
Тогда
$$ 3\cos x+3\sin x+3\sin x-4\sin^3 x-4\cos^3 x+3\cos x=0, $$
$$ 6(\sin x+\cos x)-4(\sin^3 x+\cos^3 x)=0. $$
Так как
$$\sin^3 x+\cos^3 x=(\sin x+\cos x)(1-\sin x\cos x),$$
получаем
$$ (\sin x+\cos x)\bigl(6-4+4\sin x\cos x\bigr)=0, $$
$$ (\sin x+\cos x)(2+4\sin x\cos x)=0. $$
Отсюда
$$ \sin x+\cos x=0 $$
или
$$ 1+2\sin x\cos x=0. $$
1) $$\sin x+\cos x=0 \;\Rightarrow\; \tan x=-1 \;\Rightarrow\; x=-\frac{\pi}{4}+\pi n.$$
2) $$1+2\sin x\cos x=0 \;\Rightarrow\; \sin 2x=-1 \;\Rightarrow\; x=-\frac{\pi}{4}+\pi n.$$
В обоих случаях получаем одно и то же множество решений.
$$\cos 4x=\cos^2 3x$$
Используем формулы:
$$\cos 4x=2\cos^2 2x-1,\qquad \cos^2 3x=\frac{1+\cos 6x}{2}.$$
Тогда
$$ 2\cos 4x=1+\cos 6x. $$
Выразим через $\cos 2x$:
$$ 2(2\cos^2 2x-1)=1+\cos 6x. $$
После преобразований получаем
$$ (4\cos^2 2x-3)(\cos 2x-1)=0. $$
Отсюда:
$$ 4\cos^2 2x-3=0 \;\Rightarrow\; \cos 2x=\pm\frac{\sqrt3}{2}, $$
или
$$ \cos 2x-1=0 \;\Rightarrow\; \cos 2x=1. $$
1) $$\cos 2x=\frac{\sqrt3}{2}\Rightarrow 2x=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi n \Rightarrow x=\pm\frac{\pi}{12}+\pi n.$$
2) $$\cos 2x=-\frac{\sqrt3}{2}\Rightarrow 2x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n \Rightarrow x=\pm\frac{5\pi}{12}+\pi n.$$
3) $$\cos 2x=1 \Rightarrow 2x=2\pi n \Rightarrow x=\pi n.$$
$$\sin^3 x\sin 3x+\cos^3 x\cos 3x=\cos^3 4x$$
Преобразуем левую часть:
$$ \sin^3 x\sin 3x+\cos^3 x\cos 3x =\sin x\sin 3x(1-\cos^2 x)+\cos x\cos 3x(1-\sin^2 x). $$
После группировки и использования формул приведения получаем:
$$ \cos^3 2x=\cos^3 4x. $$
Так как для действительных чисел функция $t\mapsto t^3$ взаимно однозначна, то
$$ \cos 2x=\cos 4x. $$
Тогда
$$ \cos 4x-\cos 2x=0. $$
По формуле разности косинусов:
$$ -2\sin 3x\sin x=0. $$
Значит,
$$ \sin 3x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=0. $$
Из $\sin x=0$ получаем
$$ x=\pi n. $$
Из $\sin 3x=0$ получаем
$$ 3x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{3}. $$
Объединяя, получаем
$$ x=\frac{\pi n}{3}. $$