Упр.32.22 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) 3sin(x/3)=sin(x);
2) cos(3x)-1=cos(2x).

1) $$3\sin\frac{x}{3}=\sin x$$

Используем формулу $$\sin x=3\sin\frac{x}{3}-4\sin^3\frac{x}{3}.$$ Тогда

$$ 3\sin\frac{x}{3}=3\sin\frac{x}{3}-4\sin^3\frac{x}{3} $$
$$ 4\sin^3\frac{x}{3}=0 $$
$$ \sin\frac{x}{3}=0 $$
$$ \frac{x}{3}=\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$
$$ x=3\pi n. $$

2) $$\cos 3x-1=\cos 2x$$

Преобразуем левую часть, используя формулу $$\cos 3x=4\cos^3 x-3\cos x,$$ а также $$\cos 2x=2\cos^2 x-1.$$ Тогда

$$ 4\cos^3 x-3\cos x-1=2\cos^2 x-1 $$
$$ 4\cos^3 x-2\cos^2 x-3\cos x=0 $$
$$ \cos x\,(4\cos^2 x-2\cos x-3)=0. $$

Отсюда либо

$$ \cos x=0, $$
$$ x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z, $$

либо

$$ 4\cos^2 x-2\cos x-3=0. $$
Положим $$t=\cos x.$$ Тогда

$$ 4t^2-2t-3=0 $$
$$ D=(-2)^2-4\cdot 4\cdot(-3)=4+48=52 $$
$$ t=\frac{2\pm\sqrt{52}}{8}=\frac{2\pm 2\sqrt{13}}{8}=\frac{1\pm\sqrt{13}}{4}. $$

Значение $$\frac{1+\sqrt{13}}{4}>1,$$ поэтому не подходит. Остаётся

$$ \cos x=\frac{1-\sqrt{13}}{4}. $$

Тогда

$$ x=\pm \arccos\frac{1-\sqrt{13}}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

Ответ

1) $$x=3\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
2) $$x=\pm \arccos\frac{1-\sqrt{13}}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$