Упр.32.22 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Решите уравнение: 1) $$3\sin\left(\frac{x}{3}\right)=\sin(x)$$; 2) $$\cos(3x)-1=\cos(2x)$$.

1) Используем формулу $$\sin x=3\sin \frac{x}{3}-4\sin^3 \frac{x}{3}.$$ Тогда

$$3\sin \frac{x}{3}=\sin x$$

$$3\sin \frac{x}{3}=3\sin \frac{x}{3}-4\sin^3 \frac{x}{3}$$

$$4\sin^3 \frac{x}{3}=0$$

$$\sin \frac{x}{3}=0$$

$$\frac{x}{3}=\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}$$

$$x=3\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ: $$x=3\pi n,\ n\in \mathbb{Z}.$$

2) Преобразуем уравнение, используя формулы $$\cos 3x=4\cos^3 x-3\cos x$$ и $$\cos 2x=2\cos^2 x-1.$$ Тогда

$$\cos 3x-1=\cos 2x$$

$$4\cos^3 x-3\cos x-1=2\cos^2 x-1$$

$$4\cos^3 x-2\cos^2 x-3\cos x=0$$

$$\cos x\,(4\cos^2 x-2\cos x-3)=0.$$

Отсюда либо

$$\cos x=0,$$

и тогда

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z},$$

либо

$$4\cos^2 x-2\cos x-3=0.$$

Решим квадратное уравнение относительно $$\cos x$$:

$$D=(-2)^2-4\cdot 4\cdot(-3)=52,$$

$$\cos x=\frac{2\pm \sqrt{52}}{8}=\frac{2\pm 2\sqrt{13}}{8}=\frac{1\pm \sqrt{13}}{4}.$$

Значение $$\frac{1+\sqrt{13}}{4}>1,$$ поэтому не подходит. Остаётся

$$\cos x=\frac{1-\sqrt{13}}{4}.$$

Тогда

$$x=\pm \arccos \frac{1-\sqrt{13}}{4}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ: $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in \mathbb{Z};\quad x=\pm \arccos \frac{1-\sqrt{13}}{4}+2\pi n,\ n\in \mathbb{Z}.$$