Упр.32.21 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) cos(3x)+2cos(x)=0;
2) sin(6x)+2=2cos(4x).

1. $$\cos 3x+2\cos x=0$$

   Используем формулу $$\cos 3x=4\cos^3 x-3\cos x$$:

   $$4\cos^3 x-3\cos x+2\cos x=0$$

   $$4\cos^3 x-\cos x=0$$

   $$\cos x(4\cos^2 x-1)=0$$

   Отсюда:

   1) $$\cos x=0,$$ тогда $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n;$$

   2) $$4\cos^2 x-1=0,$$ то есть $$\cos^2 x=\frac14,$$ значит $$\cos x=\pm \frac12.$$

   Тогда

   $$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,$$

   что можно записать короче как

   $$x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n.$$

2. $$\sin 6x+2=2\cos 4x$$

   Преобразуем левую и правую части через $$\sin 2x$$:

   $$\sin 6x=3\sin 2x-4\sin^3 2x,$$

   $$\cos 4x=1-2\sin^2 2x.$$

   Тогда

   $$3\sin 2x-4\sin^3 2x+2=2(1-2\sin^2 2x)$$

   $$3\sin 2x-4\sin^3 2x+2=2-4\sin^2 2x$$

   $$4\sin^3 2x-4\sin^2 2x-3\sin 2x=0$$

   $$\sin 2x\,(4\sin^2 2x-4\sin 2x-3)=0.$$

   Отсюда:

   1) $$\sin 2x=0,$$ значит $$2x=\pi n,$$ то есть $$x=\frac{\pi n}{2};$$

   2) $$4\sin^2 2x-4\sin 2x-3=0.$$

   Пусть $$t=\sin 2x$$. Тогда

   $$4t^2-4t-3=0,$$

   $$D=(-4)^2-4\cdot 4\cdot(-3)=16+48=64,$$

   $$t=\frac{4\pm 8}{8}.$$

   Получаем $$t=\frac32$$ или $$t=-\frac12.$$ Значение $$\frac32$$ не подходит, так как $$|\sin 2x|\le 1.$$

   Значит,

   $$\sin 2x=-\frac12.$$

   Тогда

   $$2x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,$$

   то есть

   $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}.$$

Ответ

1) $$x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n,\ \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

2) $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\ \frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$