Упр.32.20 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Решите уравнение $$\sin^3(2x)+\cos^3(2x)-\sin(2x)=0$$.

Преобразуем левую часть уравнения:

$$\sin^3 2x+\cos^3 2x-\sin 2x=0$$

$$\sin 2x\left(\sin^2 2x-1\right)+\cos^3 2x=0$$

Так как $$\sin^2 2x-1=-\cos^2 2x,$$ получаем

$$-\sin 2x\cdot \cos^2 2x+\cos^3 2x=0$$

$$\cos^2 2x\left(\cos 2x-\sin 2x\right)=0.$$

Отсюда:

1. $$\cos^2 2x=0,$$ то есть $$\cos 2x=0.$$ Тогда
   $$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$
   $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}, \quad n\in \mathbb{Z}.$$
2. $$\cos 2x-\sin 2x=0,$$ то есть
   $$\cos 2x=\sin 2x,$$
   $$\tg 2x=1.$$ Тогда
   $$2x=\frac{\pi}{4}+\pi n,$$
   $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}, \quad n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ: $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\; x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\; n\in \mathbb{Z}.$$