Упр.32.20 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 32.20. Решите уравнение sin^3(2x)+cos^3(2x)-sin(2x)=0.

Преобразуем левую часть уравнения, используя формулу суммы кубов:

$$\sin^3(2x)+\cos^3(2x)-\sin(2x)=0$$

$$\sin(2x)\bigl(\sin^2(2x)-1\bigr)+\cos^3(2x)=0$$

Так как $$\sin^2(2x)-1=-\cos^2(2x),$$ получаем:

$$-\sin(2x)\cos^2(2x)+\cos^3(2x)=0$$

$$\cos^2(2x)\bigl(\cos(2x)-\sin(2x)\bigr)=0$$

Отсюда:

1. $$\cos^2(2x)=0,$$ значит $$\cos(2x)=0.$$ Тогда

   $$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z},$$

   $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$

2. $$\cos(2x)-\sin(2x)=0,$$ то есть

   $$\cos(2x)=\sin(2x).$$

   Делим на $$\cos(2x)$$:

   $$1-\tan(2x)=0,$$

   $$\tan(2x)=1.$$

   Тогда

   $$2x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z},$$

   $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}.$$

Ответ

$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb{Z}.$$