Упр.32 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Постройте график функции:

1. 1) $$y=x^{\frac{1}{4}}\cdot\left(x^3\right)^{\frac{1}{4}}$$; 2) $$y=\frac{x^3}{\left(x^6\right)^{\frac{1}{6}}}+2$$.

1) $$y=x^{\frac14}\cdot (x^3)^{\frac14},\quad x\ge 0.$$

Объединим множители под одним корнем:

$$y=\sqrt[4]{x}\cdot \sqrt[4]{x^3}=\sqrt[4]{x\cdot x^3}=\sqrt[4]{x^4}=x.$$

Так как $$x\ge 0,$$ график функции — луч прямой $$y=x$$ в первой четверти, начиная с точки $$\left(0,0\right).$$

2) $$y=\dfrac{x^3}{(x^6)^{\frac16}}+2,\quad x\ne 0.$$

Поскольку $$\sqrt[6]{x^6}=|x|,$$ получаем

$$y=\dfrac{x^3}{|x|}+2.$$

Рассмотрим два случая:

если $$x>0,$$ то $$|x|=x,$$ значит

$$y=\dfrac{x^3}{x}+2=x^2+2;$$

если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ значит

$$y=\dfrac{x^3}{-x}+2=-x^2+2=2-x^2.$$

Следовательно, график состоит из двух ветвей:

• при $$x<0$$ — парабола $$y=2-x^2;$$
• при $$x>0$$ — парабола $$y=x^2+2.$$

Точка $$x=0$$ не входит в область определения, поэтому в начале координат на графике получается выколотая точка $$\left(0,2\right).$$

Ответ

1) $$y=x,\ x\ge 0.$$

2) $$y=2-x^2,\ x<0;\qquad y=x^2+2,\ x>0.$$