Упр.32.2 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) sin(x)-v3cos(x)=0; 3) sin^2(x)-5sin(x)cos(x)+6cos^2(x)=0;
2) 2sin(x)+cos(x)=0; 4) 4sin^2(x)=3sin(x)cos(x)+cos^2(x).

1. $$\sin x-\sqrt{3}\cos x=0$$

   $$\cos x\ne 0,\quad \tg x-\sqrt{3}=0$$

   $$\tg x=\sqrt{3}$$

   $$x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

2. $$2\sin x+\cos x=0$$

   $$\cos x\ne 0,\quad 2\tg x+1=0$$

   $$2\tg x=-1,\quad \tg x=-\frac12$$

   $$x=-\arctg\frac12+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

3. $$\sin^2 x-5\sin x\cos x+6\cos^2 x=0$$

   $$\cos^2 x\ne 0,\quad \tg^2 x-5\tg x+6=0$$

   $$D=5^2-4\cdot 6=25-24=1$$

   $$\tg x_1=\frac{5-1}{2}=2,\quad \tg x_2=\frac{5+1}{2}=3$$

   $$x_1=\arctg 2+\pi n,\quad x_2=\arctg 3+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

4. $$4\sin^2 x=3\sin x\cos x+\cos^2 x$$

   $$\cos^2 x\ne 0,\quad 4\tg^2 x-3\tg x-1=0$$

   $$D=(-3)^2-4\cdot 4\cdot(-1)=9+16=25$$

   $$\tg x_1=\frac{3-5}{8}=-\frac14,\quad \tg x_2=\frac{3+5}{8}=1$$

   $$x_1=-\arctg\frac14+\pi n,\quad x_2=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{3}+\pi n$$
2) $$x=-\arctg\frac12+\pi n$$
3) $$x=\arctg 2+\pi n,\; x=\arctg 3+\pi n$$
4) $$x=-\arctg\frac14+\pi n,\; x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$