Упр.32.2 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   
   1) $$\sin(x)-\sqrt{3}\cos(x)=0$$;
   
   3) $$\sin^2(x)-5\sin(x)\cos(x)+6\cos^2(x)=0$$;
   
   2) $$2\sin(x)+\cos(x)=0$$;
   
   4) $$4\sin^2(x)=3\sin(x)\cos(x)+\cos^2(x)$$.

1) $$\sin x-\sqrt{3}\cos x=0$$

$$\cos x\ne 0,\quad \tg x-\sqrt{3}=0$$

$$\tg x=\sqrt{3}$$

$$x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

2) $$2\sin x+\cos x=0$$

$$\cos x\ne 0,\quad 2\tg x+1=0$$

$$\tg x=-\frac12$$

$$x=-\arctg\frac12+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

3) $$\sin^2 x-5\sin x\cos x+6\cos^2 x=0$$

$$\cos^2 x\ne 0,\quad \tg^2 x-5\tg x+6=0$$

$$D=25-24=1$$

$$\tg x_1=\frac{5-1}{2}=2,\quad \tg x_2=\frac{5+1}{2}=3$$

$$x_1=\arctg 2+\pi n,\quad x_2=\arctg 3+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

4) $$4\sin^2 x=3\sin x\cos x+\cos^2 x$$

$$\cos^2 x\ne 0,\quad 4\tg^2 x-3\tg x-1=0$$

$$D=9+16=25$$

$$\tg x_1=\frac{3-5}{8}=-\frac14,\quad \tg x_2=\frac{3+5}{8}=1$$

$$x_1=-\arctg\frac14+\pi n,\quad x_2=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{3}+\pi n$$;
2) $$x=-\arctg\frac12+\pi n$$;
3) $$x=\arctg 2+\pi n,\ \ x=\arctg 3+\pi n$$;
4) $$x=-\arctg\frac14+\pi n,\ \ x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$.